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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:31 So 26.01.2014 | | Autor: | QexX |
| Aufgabe | Gegeben sei die stationäre Schrödingergleichung mit sphärisch symmetrischem Potenzial V:
[mm] (\frac{p^2}{2m}+V(r)) \Psi_k(\vec{x})=E_k\Psi_k(\vec{x}).
[/mm]
Die Lösung solcher stationären Probleme treten insbesondere im Zusammenhang mit der Streutheorie auf. Zur Lösung des Problems wird häufig die „Partialwellenmethode“ verwendet. Wie lautet in ganz allgemeiner Form die Lösung [mm] \Psi_k [/mm] der Schrödingergleichung, entwickelt nach Partialwellen? |
Hi zusammen,
In der Literatur findet man folgende „Partialwellenentwicklung“:
[mm] \Psi_k=\sum_{l=0}^{\infty}i^l(2l+1)R_l(r)P_l(cos\theta),
[/mm]
dabei ist [mm] R_l [/mm] die Lösung der radialen Schrödingergleichung und [mm] P_l(cos\theta) [/mm] die nur winkelabhängigen Kugelflächenfunktionen für m=0 aufgrund der Symmetrie.
Inwiefern ist dieser Ausdruck als „Entwicklung nach Eigenfunktionen“ zu verstehen? Denn ein Satz von Eigenfunkitonen ist im Raum der quadratintegrablen Funktionen ein vollständiges Orthonormalsystem, d.h. eine beliebige quadratintegrable Funktion lässt sich mit gewissen Entwicklungskoeffizienten danach entwickeln. Mein Problem hier ist also, dass ich ohne diese Entwicklungskoeffizienten nicht sehe, was obiger Ausdruck bedeueten soll, bzw. warum ich die stationäre Lösung [mm] \Psi_k [/mm] so darstellen kann?
Ich hätte sie folgendermaßen dargestellt:
[mm] \Psi_k=\sum_{l=0}^{\infty}c_l P_l(cos\theta), [/mm] wobei [mm] c_l [/mm] die Entwicklungskoeffizienten, also die Projektionen von [mm] \Psi_k [/mm] auf die jeweilige [mm] P_l [/mm] Komponente sind. Diese Entwicklung wäre jetzt aber auch völlig unabhängig von dem Radialteil, da die Kugelflächenfunktionen für sich genommen ja schon einen vollständigen Satz an Funktionen darstellen.
Auf der anderen Seite sollte eine stationäre Lösung [mm] \Psi_k [/mm] zu der obigen Schrödiingergleichung ja auch einfach (ganz analog zum Wasserstoffatom) in einem radial- und einen Winkelabhängigen Teil separieren, also
[mm] \Psi_k=R(r)Y(\theta,\varphi), [/mm] wobei Y die bekannten Kugelflächenfunktionen sind, also für m=0 gerade dem obigen [mm] P_l(cos\theta) [/mm] entsprechen. Dieser Ausdruck sieht fast aus wie die vermeintliche „Partialwellenentwicklung“, nur dass bei dieser noch über alle l summiert wird (jedoch, wie bereits angemerkt, ohne Entwicklungskoeffizienten).
Wäre über Hilfe dankbar.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 28.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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