Partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils alle partiellen Ableitungen und damit die totale Ableitung.
a) f: [mm] \IR^3\to\IR, [/mm] f(x)=|x| für welche x ist f nicht differenzierbar?
b) g: [mm] \IR^3\to\IR^2, g(x,y,z)=\vektor{xy+yz \\ xyz} [/mm] |
a)
[mm] f(x)=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_1}=\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_2}=\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_3}=\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3
[/mm]
Sind die partiellen Ableitungen richtig? Wie schreibe ich das totale Differential auf?
Totales Differential: [mm] Df(x)=(\bruch{\partial f(x)}{\partial x_1}; \bruch{\partial f(x)}{\partial x_2}; \bruch{\partial f(x)}{\partial x_3})=(\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1; \bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2; \bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3)
[/mm]
Schreibt man so das totale Differential auf? oder ist die folgende Notation richtig?
Totales Differential: [mm] Df(x)=\bruch{\partial f(x)}{\partial x_1}dx_1+\bruch{\partial f(x)}{\partial x_2}dx_2+\bruch{\partial f(x)}{\partial x_3}dx_3=\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1dx_1+\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2dx_2+\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3dx_3
[/mm]
Woher weiß ich für welche x ist f nicht differenzierbar?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 So 27.09.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Rebellismus,
die partiellen Ableitungen sind okay. Die zweite Schreibweise ist die richtige.
Wegen der Differenzierbarkeit würde ich mir mal das Gebiet um den Ursprung anschauen und gucken, ob die Ableitung bei Annäherung an den Ursprung von allen Richtungen zum gleichen Wert führt.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
zusätzlich zu Infinits Antwort sei hinzugefügt, dass
[mm] (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2}=\frac{1}{|x|}
[/mm]
gilt. Dadurch kann man die Ableitungen etwas kompakter notieren. So ist dann nämlich
[mm] Df=\frac{x_1dx_2+x_2dx_2+x_3dx_3}{|x|}\left(=\frac{xdx}{|x|}\right)
[/mm]
Wobei ich mir nicht sicher bin, wie üblich die letztgeschriebene Form in der Mathematik üblich ist. Physiker zumindest freuen sich über so etwas kurzes.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 So 27.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Die partiellen Ableitungen von f hast Du richtig berechnet, für [mm] x=(x_1,x_2,x_3) \in D:=\IR^3 \setminus \{(0,0,0)\}.
[/mm]
Nun sieht man, dass diese partiellen Ableitungen auf D stetig sind. Ihr hattet sicher den Satz, dass dann f auf D auch total differenzierbar ist und dass gilt
[mm] f'(x)=gradf(x)=\bruch{x}{|x|} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D.
Aber: betrachtet hast Du noch nicht den Punkt (0,0,0).
Zeige: f ist in diesem Punkt nicht partiell differenzierbar und damit in diesem Punkt auch nicht total differenzierbar .
FRED
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> Aber: betrachtet hast Du noch nicht den Punkt (0,0,0).
>
> Zeige: f ist in diesem Punkt nicht partiell differenzierbar
> und damit in diesem Punkt auch nicht total differenzierbar
Zeige ich das so?
[mm] \limes_{x_1,x_2,x_3\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(0,0,0)}{x-(0,0,0)}
[/mm]
Ich muss einfach nur zeigen, das der grenzwert nicht exsistiert, denn dann ist f(x) in (0,0,0) nicht differenzierbar richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 So 27.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Aber: betrachtet hast Du noch nicht den Punkt (0,0,0).
> >
> > Zeige: f ist in diesem Punkt nicht partiell differenzierbar
> > und damit in diesem Punkt auch nicht total differenzierbar
>
> Zeige ich das so?
>
> [mm]\limes_{x_1,x_2,x_3\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(0,0,0)}{x-(0,0,0)}[/mm]
Auaa , Auaa ? Du teilst durch Vektoren !!!
>
> Ich muss einfach nur zeigen, das der grenzwert nicht
> exsistiert, denn dann ist f(x) in (0,0,0) nicht
> differenzierbar richtig?
Nein !. Zeige , dass f in (0,0,0) nicht hach [mm] x_1 [/mm] partiell differenzierbar ist. Dazu zeige, dass der Grenzwert
[mm] \limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}
[/mm]
nicht existiert.
Wenn f in (0,0,0) nach einer Variablen nicht partiell differenzierbar ist, so kann f in (0,0,0) nicht total differenzierbar sein.
FRED
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> Zeige , dass f in (0,0,0) nicht hach [mm]x_1[/mm] partiell
> differenzierbar ist. Dazu zeige, dass der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}[/mm]
>
> nicht existiert.
Laut meiner Rechnung existiert der Grenzwert.
[mm] \limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}=\limes_{h \rightarrow 0}\frac{\wurzel{h^2+0^2+0^2}-\wurzel{0^2+0^2+0^2}}{h}=\limes_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}=1
[/mm]
Wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 So 27.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Zeige , dass f in (0,0,0) nicht hach [mm]x_1[/mm] partiell
> > differenzierbar ist. Dazu zeige, dass der Grenzwert
> >
> > [mm]\limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}[/mm]
> >
> > nicht existiert.
>
> Laut meiner Rechnung existiert der Grenzwert.
>
>
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}=\limes_{h \rightarrow 0}\frac{\wurzel{h^2+0^2+0^2}-\wurzel{0^2+0^2+0^2}}{h}=\limes_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}=1[/mm]
>
> Wo ist mein Fehler?
[mm] \wurzel{h^2}=|h|.
[/mm]
FRED
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Hi,
es ist [mm] \frac{|x|}{x}=sign(x)
[/mm]
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Wenn ich das richtig verstanden habe, dann existiert der Grenzwert nicht, weil der linksseitige Granzwert nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert überein stimmt:
Linksseitiger Grenzwert (für h<0):
[mm] \limes_{h\rightarrow 0-}\bruch{|h|}{h}=-1
[/mm]
Rechsseitiger Grenzwert (für h>0)
[mm] \limes_{h\rightarrow 0+}\bruch{|h|}{h}=1
[/mm]
In diesem fall gilt NICHT die folgende Gleichung:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0-}\bruch{|h|}{h}=\limes_{h\rightarrow 0+}\bruch{|h|}{h}
[/mm]
und weil diese gleichung nicht existiert, ist f in (0,0,0) nicht diferenzierbar, richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 27.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich das richtig verstanden habe, dann existiert der
> Grenzwert nicht, weil der linksseitige Granzwert nicht mit
> dem rechtsseitigen Grenzwert überein stimmt:
>
> Linksseitiger Grenzwert (für h<0):
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0-}\bruch{|h|}{h}=-1[/mm]
>
> Rechsseitiger Grenzwert (für h>0)
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0+}\bruch{|h|}{h}=1[/mm]
>
> In diesem fall gilt NICHT die folgende Gleichung:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0-}\bruch{|h|}{h}=\limes_{h\rightarrow 0+}\bruch{|h|}{h}[/mm]
>
> und weil diese gleichung nicht existiert, ist f in (0,0,0)
> nicht diferenzierbar, richtig?
Ja
Fred
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> [mm]f'(x)=gradf(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] D.
Ich habe paar fragen zu der schreibweise oben:
gradf(x) steht wohl für gradient von f(x). ist Gradient und totales Differential dasselbe?
Zweite Frage:
Wie kommst du auf [mm] f'(x)=\bruch{x}{|x|} [/mm] ?
Ich komme auf:
[mm] f'(x)=\frac{x_1dx_1+x_2dx_2+x_3dx_3}{|x|}
[/mm]
Wie komme ich nun auf
[mm] f'(x)=\bruch{x}{|x|}
[/mm]
?
x ist ein Vektor. Dann gilt: [mm] f'(x)=\bruch{x}{|x|}=\bruch{1}{|x|}*\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Mo 28.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Sei D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^n, [/mm] f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] D.
Ist f in [mm] x_0 [/mm] (total) differenzierbar, so ist f in [mm] x_0 [/mm] auch partiell differenzierbar und es gilt:
[mm] f'(x_0)=gradf(x_0)
[/mm]
(also: (totale) Ableitung in [mm] x_0 [/mm] = Gradient in [mm] x_0).
[/mm]
Für das totale Differential siehe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential
Zu Deinem f:
Wir wissen: ist [mm] x=(x_1,x_2,x_3) \in D:=\IR^3 \setminus\{(0,0,0)\}, [/mm] so ist f in x partiel differenzierbar mit
[mm] f_{x_i}(x)=\bruch{x_i}{|x|}.
[/mm]
Damit ist
[mm] $gradf(x)=\bruch{1}{|x|}*x$
[/mm]
Auf D ist gradf stetig. Nun besagt ein Satz, dass f dann auf D total differenzierbar ist.
Also haben wir: f'(x)=gradf(x) für alle x [mm] \in [/mm] D.
FRED
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g: [mm]\IR^3\to\IR^2, g(x,y,z)=\vektor{xy+yz \\ xyz}[/mm]
Hier muss ich Funktion in die einzelnen Komponenten aufteilen oder?
[mm] g_1(x,y,z)=xy+yz
[/mm]
[mm] g_2(x,y,z)=xyz
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}=y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}=x+z
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}=y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}=yz
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}=xz
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}=xy
[/mm]
Wie schreibe ich hier nun das totale Differential auf?
[mm] Dg_1(x,y,z)=\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz
[/mm]
[mm] Dg_2(x,y,z)=\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz
[/mm]
Ist das so richtig? oder ist die folgende Notation richtig?
[mm] Dg(x,y,z)=Dg_1(x,y,z)+Dg_2(x,y,z)=\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz
[/mm]
ODER ist das die richtige notation:
[mm] Dg(x,y,z)=\vektor{Dg_1(x,y,z) \\ Dg_2(x,y,z)}=\vektor{\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz\\ \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz}
[/mm]
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Es wundert mich ein bisschen, wieso ich zu der frage keine antwort bekomme.
Die partielle ableitungen habe ich bereits bestimmt. Ich will jetzt nur noch wissen wie man das totale Differential notiert
die Frage ist zwar gleich abgelaufen, aber ich bin immer noch auf einer antwort interessiert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Mo 28.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es wundert mich ein bisschen, wieso ich zu der frage keine
> antwort bekomme.
>
> Die partielle ableitungen habe ich bereits bestimmt. Ich
> will jetzt nur noch wissen wie man das totale Differential
> notiert
Siehe hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential
FRED
>
> die Frage ist zwar gleich abgelaufen, aber ich bin immer
> noch auf einer antwort interessiert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Di 29.09.2015 | | Autor: | Ladon |
Um die Frage zu beantworten und die Mitteilung zu ergänzen, schreibe ich mal eine Antwort:
> $g: [mm] \IR^3\to\IR^2, g(x,y,z)=\vektor{xy+yz \\ xyz} [/mm] $
>
> [mm]Dg(x,y,z)=Dg_1(x,y,z)+Dg_2(x,y,z)=\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz[/mm]
>
> ODER ist das die richtige notation:
>
> [mm]Dg(x,y,z)=\vektor{Dg_1(x,y,z) \\ Dg_2(x,y,z)}=\vektor{\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz\\ \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz}[/mm]
Es ist
$$Dg= [mm] \sum_{i=1}^3 \partial_i [/mm] g [mm] \mbox{ }dx_i [/mm] = [mm] \partial_1 [/mm] g [mm] \mbox{ }dx_1 [/mm] + [mm] \partial_2 [/mm] g [mm] \mbox{ }dx_2 [/mm] + [mm] \partial_3 [/mm] g [mm] \mbox{ }dx_3,$$ [/mm] wobei [mm] $\partial_ig [/mm] = [mm] \frac{\partial g}{\partial x_i}$ [/mm] die bekannte Notation als Kurzform beschreibt.
Weitere Möglichkeit:
Ist $g$ total differenzierbar in einem Punkt [mm] $a\in \IR^3$, [/mm] dann wird die durch eine Matrix $A$ gegebene lineare Abbildung [mm] $Dg\colon\IR^3\to\IR^2,$ $x\mapsto [/mm] Ax$, d.h. das totale Differential von $g$ in $a$, bzgl. der kanonischen Basis durch die ![[]](/images/popup.gif) Jacobi-Matrix dargestellt, d.h.:
[mm] $$Dg(a)\cdot [/mm] v = [mm] J_g(a)\cdot v\quad \forall v\in\IR^3\mbox{ mit }J_g(a)=\pmat{ \partial_1g_1(a) & \partial_2g_1(a) & \partial_3g_1(a) \\ \partial_1g_2(a) & \partial_2g_2(a) & \partial_3g_2(a)}.$$
[/mm]
MfG
Ladon
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> Es ist
> [mm]Dg= \sum_{i=1}^3 \partial_i g \mbox{ }dx_i = \partial_1 g \mbox{ }dx_1 + \partial_2 g \mbox{ }dx_2 + \partial_3 g \mbox{ }dx_3,[/mm]
> wobei [mm]$\partial_ig[/mm] = [mm]\frac{\partial g}{\partial x_i}$[/mm] die
> bekannte Notation als Kurzform beschreibt.
>
Aber diese Notation enthält nur 3 partielle Ableitung und zwar die von [mm] g_1(x,y,z). [/mm] bei aufgabe b) gibt es aber 6 partielle Ableitung.
Diese Notation ist also nicht ganz vollständig
> Weitere Möglichkeit:
> Ist [mm]g[/mm] total differenzierbar in einem Punkt [mm]a\in \IR^3[/mm],
> dann wird die durch eine Matrix [mm]A[/mm] gegebene lineare
> Abbildung [mm]Dg\colon\IR^3\to\IR^2,[/mm] [mm]x\mapsto Ax[/mm], d.h. das
> totale Differential von [mm]g[/mm] in [mm]a[/mm], bzgl. der kanonischen Basis
> durch die Jacobi-Matrix
> dargestellt, d.h.:
> [mm]Dg(a)\cdot v = J_g(a)\cdot v\quad \forall v\in\IR^3\mbox{ mit }J_g(a)=\pmat{ \partial_1g_1(a) & \partial_2g_1(a) & \partial_3g_1(a) \\ \partial_1g_2(a) & \partial_2g_2(a) & \partial_3g_2(a)}.[/mm]
Die Jacobi Marix ist also bei Funktionen [mm] f:\IR^m\to\IR^n [/mm] die totale Ableitung richtig?
Bei Funktionen f: [mm] \IR^n\to\IR [/mm] gilft für die totale Ableitung die übliche Schreibweise:
[mm] Df(x)=\bruch{\partial f}{\partial x_1}dx_1+...+\bruch{\partial f}{\partial x_n}dx_n
[/mm]
Aber bei Funktionen [mm] f:\IR^m\to\IR^n [/mm] ist die Jacobi matrix die totale Ableitung richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Di 29.09.2015 | | Autor: | fred97 |
>
> > Es ist
> > [mm]Dg= \sum_{i=1}^3 \partial_i g \mbox{ }dx_i = \partial_1 g \mbox{ }dx_1 + \partial_2 g \mbox{ }dx_2 + \partial_3 g \mbox{ }dx_3,[/mm]
> > wobei [mm]$\partial_ig[/mm] = [mm]\frac{\partial g}{\partial x_i}$[/mm] die
> > bekannte Notation als Kurzform beschreibt.
> >
>
> Aber diese Notation enthält nur 3 partielle Ableitung und
> zwar die von [mm]g_1(x,y,z).[/mm] bei aufgabe b) gibt es aber 6
> partielle Ableitung.
> Diese Notation ist also nicht ganz vollständig
Nein. g hat die Koordinatenfunktionen [mm] g_1,g_2 [/mm] und [mm] g_3.
[/mm]
Was bedeutet denn $ [mm] $\partial_ig [/mm] $ = $ [mm] \frac{\partial g}{\partial x_i}$ [/mm] $ ????
>
>
> > Weitere Möglichkeit:
> > Ist [mm]g[/mm] total differenzierbar in einem Punkt [mm]a\in \IR^3[/mm],
> > dann wird die durch eine Matrix [mm]A[/mm] gegebene lineare
> > Abbildung [mm]Dg\colon\IR^3\to\IR^2,[/mm] [mm]x\mapsto Ax[/mm], d.h. das
> > totale Differential von [mm]g[/mm] in [mm]a[/mm], bzgl. der kanonischen Basis
> > durch die Jacobi-Matrix
> > dargestellt, d.h.:
> > [mm]Dg(a)\cdot v = J_g(a)\cdot v\quad \forall v\in\IR^3\mbox{ mit }J_g(a)=\pmat{ \partial_1g_1(a) & \partial_2g_1(a) & \partial_3g_1(a) \\ \partial_1g_2(a) & \partial_2g_2(a) & \partial_3g_2(a)}.[/mm]
>
> Die Jacobi Marix ist also bei Funktionen [mm]f:\IR^m\to\IR^n[/mm]
> die totale Ableitung richtig?
Nur wenn g in a total differenzierbar ist. In diesem Fall ist
[mm] g'(a)=J_g(a).
[/mm]
Das habe ich Dir aber inzwischen schon 3 mal gesagt !
FRED
>
> Bei Funktionen f: [mm]\IR^n\to\IR[/mm] gilft für die totale
> Ableitung die übliche Schreibweise:
>
> [mm]Df(x)=\bruch{\partial f}{\partial x_1}dx_1+...+\bruch{\partial f}{\partial x_n}dx_n[/mm]
>
> Aber bei Funktionen [mm]f:\IR^m\to\IR^n[/mm] ist die Jacobi matrix
> die totale Ableitung richtig?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:05 Di 29.09.2015 | | Autor: | Rebellismus |
> Nein. g hat die Koordinatenfunktionen [mm]g_1,g_2[/mm] und [mm]g_3.[/mm]
>
> Was bedeutet denn [mm][/mm][mm] \partial_ig[/mm] [mm]=[/mm] [mm]\frac{\partial g}{\partial x_i}[/mm][mm][/mm] ????
ach jetzt verstehe ich das. Die totale Ableitung für aufgabe b) wäre dann:
[mm] Dg(x,y,z)=\vektor{y \\ yz}dx+\vektor{x+z \\ xz}dy+\vektor{y \\ xy}dz
[/mm]
das stimmt doch oder?
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Kann ich für die Funktion f und g bei aufgabe a) und b) die Divergenz und Rotation bestimmen?
oder geht das nur bei funktionen f: [mm] \IR^n\to\IR^n
[/mm]
mit n>1
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 27.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich für die Funktion f und g bei aufgabe a) und b)
> die Divergenz und Rotation bestimmen?
>
> oder geht das nur bei funktionen f: [mm]\IR^n\to\IR^n[/mm]
>
> mit n>1
>
> ?
Die Divergenz ist def. für Funktionen f: [mm]\IR^n\to\IR^n[/mm]
Die Rotation ist def. für Funktionen f: [mm]\IR^3\to\IR^3[/mm]
FRED
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