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Partielle Ableitung: Korrektur und Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Sa 26.09.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Berechnen Sie jeweils alle partiellen Ableitungen und damit die totale Ableitung.

a) f: [mm] \IR^3\to\IR, [/mm] f(x)=|x| für welche x ist f nicht differenzierbar?

b) g: [mm] \IR^3\to\IR^2, g(x,y,z)=\vektor{xy+yz \\ xyz} [/mm]


a)

[mm] f(x)=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm]

[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_1}=\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1 [/mm]

[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_2}=\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2 [/mm]

[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_3}=\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3 [/mm]

Sind die partiellen Ableitungen richtig? Wie schreibe ich das totale Differential auf?

Totales Differential: [mm] Df(x)=(\bruch{\partial f(x)}{\partial x_1}; \bruch{\partial f(x)}{\partial x_2}; \bruch{\partial f(x)}{\partial x_3})=(\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1; \bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2; \bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3) [/mm]

Schreibt man so das totale Differential auf? oder ist die folgende Notation richtig?

Totales Differential: [mm] Df(x)=\bruch{\partial f(x)}{\partial x_1}dx_1+\bruch{\partial f(x)}{\partial x_2}dx_2+\bruch{\partial f(x)}{\partial x_3}dx_3=\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1dx_1+\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2dx_2+\bruch{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3dx_3 [/mm]


Woher weiß ich für welche x ist f nicht differenzierbar?


        
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 So 27.09.2015
Autor: Infinit

Hallo Rebellismus,
die partiellen Ableitungen sind okay. Die zweite Schreibweise ist die richtige.
Wegen der Differenzierbarkeit würde ich mir mal das Gebiet um den Ursprung anschauen und gucken, ob die Ableitung bei Annäherung an den Ursprung von allen Richtungen zum gleichen Wert führt.
Viele Grüße,
Infinit

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Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 So 27.09.2015
Autor: Richie1401

Hallo,

zusätzlich zu Infinits Antwort sei hinzugefügt, dass

   [mm] (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2}=\frac{1}{|x|} [/mm]

gilt. Dadurch kann man die Ableitungen etwas kompakter notieren. So ist dann nämlich

   [mm] Df=\frac{x_1dx_2+x_2dx_2+x_3dx_3}{|x|}\left(=\frac{xdx}{|x|}\right) [/mm]

Wobei ich mir nicht sicher bin, wie üblich die letztgeschriebene Form in der Mathematik üblich ist. Physiker zumindest freuen sich über so etwas kurzes.

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Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 So 27.09.2015
Autor: fred97

Die partiellen Ableitungen von f hast Du richtig berechnet, für [mm] x=(x_1,x_2,x_3) \in D:=\IR^3 \setminus \{(0,0,0)\}. [/mm]

Nun sieht man, dass diese partiellen Ableitungen auf D stetig sind. Ihr hattet sicher den Satz, dass dann f auf D auch total differenzierbar ist und dass gilt

   [mm] f'(x)=gradf(x)=\bruch{x}{|x|} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D.

Aber: betrachtet hast Du noch nicht den Punkt (0,0,0).

Zeige: f ist in diesem Punkt nicht partiell differenzierbar und damit in diesem Punkt auch nicht total differenzierbar .


FRED

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Partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 So 27.09.2015
Autor: Rebellismus


> Aber: betrachtet hast Du noch nicht den Punkt (0,0,0).
>  
> Zeige: f ist in diesem Punkt nicht partiell differenzierbar
> und damit in diesem Punkt auch nicht total differenzierbar

Zeige ich das so?

[mm] \limes_{x_1,x_2,x_3\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(0,0,0)}{x-(0,0,0)} [/mm]

Ich muss einfach nur zeigen, das der grenzwert nicht exsistiert, denn dann ist f(x) in (0,0,0) nicht differenzierbar richtig?

Bezug
                        
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Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 So 27.09.2015
Autor: fred97


> > Aber: betrachtet hast Du noch nicht den Punkt (0,0,0).
>  >  
> > Zeige: f ist in diesem Punkt nicht partiell differenzierbar
> > und damit in diesem Punkt auch nicht total differenzierbar
>
> Zeige ich das so?
>  
> [mm]\limes_{x_1,x_2,x_3\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(0,0,0)}{x-(0,0,0)}[/mm]


Auaa , Auaa ? Du teilst durch Vektoren !!!


>  
> Ich muss einfach nur zeigen, das der grenzwert nicht
> exsistiert, denn dann ist f(x) in (0,0,0) nicht
> differenzierbar richtig?

Nein !. Zeige , dass f in (0,0,0) nicht hach [mm] x_1 [/mm] partiell differenzierbar ist. Dazu zeige, dass der Grenzwert

  [mm] \limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h} [/mm]

nicht existiert.

Wenn f in (0,0,0) nach einer Variablen nicht partiell differenzierbar ist, so kann f in (0,0,0) nicht total differenzierbar sein.

FRED


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Partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 So 27.09.2015
Autor: Rebellismus


> Zeige , dass f in (0,0,0) nicht hach [mm]x_1[/mm] partiell
> differenzierbar ist. Dazu zeige, dass der Grenzwert
>  
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}[/mm]
>  
> nicht existiert.

Laut meiner Rechnung existiert der Grenzwert.


[mm] \limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}=\limes_{h \rightarrow 0}\frac{\wurzel{h^2+0^2+0^2}-\wurzel{0^2+0^2+0^2}}{h}=\limes_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}=1 [/mm]

Wo ist mein Fehler?

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Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 So 27.09.2015
Autor: fred97


> > Zeige , dass f in (0,0,0) nicht hach [mm]x_1[/mm] partiell
> > differenzierbar ist. Dazu zeige, dass der Grenzwert
>  >  
> > [mm]\limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}[/mm]
>  >  
> > nicht existiert.
>  
> Laut meiner Rechnung existiert der Grenzwert.
>  
>
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}=\limes_{h \rightarrow 0}\frac{\wurzel{h^2+0^2+0^2}-\wurzel{0^2+0^2+0^2}}{h}=\limes_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}=1[/mm]
>  
> Wo ist mein Fehler?

[mm] \wurzel{h^2}=|h|. [/mm]

FRED


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Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 So 27.09.2015
Autor: Richie1401

Hi,

es ist [mm] \frac{|x|}{x}=sign(x) [/mm]

Bezug
                                                
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Partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 So 27.09.2015
Autor: Rebellismus

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann existiert der Grenzwert nicht, weil der linksseitige Granzwert nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert überein stimmt:

Linksseitiger Grenzwert (für h<0):

[mm] \limes_{h\rightarrow 0-}\bruch{|h|}{h}=-1 [/mm]

Rechsseitiger Grenzwert (für h>0)

[mm] \limes_{h\rightarrow 0+}\bruch{|h|}{h}=1 [/mm]

In diesem fall gilt NICHT die folgende Gleichung:

[mm] \limes_{h\rightarrow 0-}\bruch{|h|}{h}=\limes_{h\rightarrow 0+}\bruch{|h|}{h} [/mm]

und weil diese gleichung nicht existiert, ist f in (0,0,0) nicht diferenzierbar, richtig?


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Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 So 27.09.2015
Autor: fred97


> Wenn ich das richtig verstanden habe, dann existiert der
> Grenzwert nicht, weil der linksseitige Granzwert nicht mit
> dem rechtsseitigen Grenzwert überein stimmt:
>  
> Linksseitiger Grenzwert (für h<0):
>  
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0-}\bruch{|h|}{h}=-1[/mm]
>  
> Rechsseitiger Grenzwert (für h>0)
>  
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0+}\bruch{|h|}{h}=1[/mm]
>  
> In diesem fall gilt NICHT die folgende Gleichung:
>  
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0-}\bruch{|h|}{h}=\limes_{h\rightarrow 0+}\bruch{|h|}{h}[/mm]
>  
> und weil diese gleichung nicht existiert, ist f in (0,0,0)
> nicht diferenzierbar, richtig?

Ja

Fred

>  


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Partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 So 27.09.2015
Autor: Rebellismus


> [mm]f'(x)=gradf(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] D.

Ich habe paar fragen zu der schreibweise oben:

gradf(x) steht wohl für gradient von f(x). ist Gradient und totales Differential dasselbe?

Zweite Frage:

Wie kommst du auf [mm] f'(x)=\bruch{x}{|x|} [/mm] ?

Ich komme auf:

[mm] f'(x)=\frac{x_1dx_1+x_2dx_2+x_3dx_3}{|x|} [/mm]

Wie komme ich nun auf

[mm] f'(x)=\bruch{x}{|x|} [/mm]

?

x ist ein Vektor. Dann gilt: [mm] f'(x)=\bruch{x}{|x|}=\bruch{1}{|x|}*\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} [/mm]

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Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Mo 28.09.2015
Autor: fred97

Sei D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^n, [/mm] f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] D.

Ist f in [mm] x_0 [/mm] (total) differenzierbar, so ist f in [mm] x_0 [/mm] auch partiell differenzierbar und es gilt:

  [mm] f'(x_0)=gradf(x_0) [/mm]

(also: (totale) Ableitung in [mm] x_0 [/mm] = Gradient in [mm] x_0). [/mm]

Für das totale Differential siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential

Zu Deinem f:

Wir wissen: ist [mm] x=(x_1,x_2,x_3) \in D:=\IR^3 \setminus\{(0,0,0)\}, [/mm] so ist f in x partiel differenzierbar mit

    [mm] f_{x_i}(x)=\bruch{x_i}{|x|}. [/mm]

Damit ist

    [mm] $gradf(x)=\bruch{1}{|x|}*x$ [/mm]

Auf D ist gradf stetig. Nun besagt ein Satz, dass f dann auf D total differenzierbar ist.

Also haben wir: f'(x)=gradf(x) für alle x [mm] \in [/mm] D.

FRED

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Partielle Ableitung: aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 So 27.09.2015
Autor: Rebellismus

g: [mm]\IR^3\to\IR^2, g(x,y,z)=\vektor{xy+yz \\ xyz}[/mm]

Hier muss ich Funktion in die einzelnen Komponenten aufteilen oder?

[mm] g_1(x,y,z)=xy+yz [/mm]

[mm] g_2(x,y,z)=xyz [/mm]


[mm] \bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}=y [/mm]

[mm] \bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}=x+z [/mm]

[mm] \bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}=y [/mm]

[mm] \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}=yz [/mm]

[mm] \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}=xz [/mm]

[mm] \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}=xy [/mm]

Wie schreibe ich hier nun das totale Differential auf?

[mm] Dg_1(x,y,z)=\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz [/mm]

[mm] Dg_2(x,y,z)=\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz [/mm]

Ist das so richtig? oder ist die folgende Notation richtig?

[mm] Dg(x,y,z)=Dg_1(x,y,z)+Dg_2(x,y,z)=\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz [/mm]

ODER ist das die richtige notation:

[mm] Dg(x,y,z)=\vektor{Dg_1(x,y,z) \\ Dg_2(x,y,z)}=\vektor{\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz\\ \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz} [/mm]



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Partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Mo 28.09.2015
Autor: Rebellismus

Es wundert mich ein bisschen, wieso ich zu der frage keine antwort bekomme.

Die partielle ableitungen habe ich bereits bestimmt. Ich will jetzt nur noch wissen wie man das totale Differential notiert

die Frage ist zwar gleich abgelaufen, aber ich bin immer noch auf einer antwort interessiert

Bezug
                        
Bezug
Partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:55 Mo 28.09.2015
Autor: fred97


> Es wundert mich ein bisschen, wieso ich zu der frage keine
> antwort bekomme.
>  
> Die partielle ableitungen habe ich bereits bestimmt. Ich
> will jetzt nur noch wissen wie man das totale Differential
> notiert


Siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential


FRED

>  
> die Frage ist zwar gleich abgelaufen, aber ich bin immer
> noch auf einer antwort interessiert  


Bezug
                
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Di 29.09.2015
Autor: Ladon

Um die Frage zu beantworten und die Mitteilung zu ergänzen, schreibe ich mal eine Antwort:

> $g: [mm] \IR^3\to\IR^2, g(x,y,z)=\vektor{xy+yz \\ xyz} [/mm] $
>  
> [mm]Dg(x,y,z)=Dg_1(x,y,z)+Dg_2(x,y,z)=\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz[/mm]
>  
> ODER ist das die richtige notation:
>  
> [mm]Dg(x,y,z)=\vektor{Dg_1(x,y,z) \\ Dg_2(x,y,z)}=\vektor{\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_1(x,y,z)}{\partial z}dz\\ \bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial x}dx+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial y}dy+\bruch{\partial g_2(x,y,z)}{\partial z}dz}[/mm]

Es ist
$$Dg= [mm] \sum_{i=1}^3 \partial_i [/mm] g [mm] \mbox{ }dx_i [/mm] = [mm] \partial_1 [/mm] g [mm] \mbox{ }dx_1 [/mm] + [mm] \partial_2 [/mm] g [mm] \mbox{ }dx_2 [/mm] + [mm] \partial_3 [/mm] g [mm] \mbox{ }dx_3,$$ [/mm] wobei [mm] $\partial_ig [/mm] = [mm] \frac{\partial g}{\partial x_i}$ [/mm] die bekannte Notation als Kurzform beschreibt.

Weitere Möglichkeit:
Ist $g$ total differenzierbar in einem Punkt [mm] $a\in \IR^3$, [/mm] dann wird die durch eine Matrix $A$ gegebene lineare Abbildung [mm] $Dg\colon\IR^3\to\IR^2,$ $x\mapsto [/mm] Ax$, d.h. das totale Differential von $g$ in $a$, bzgl. der kanonischen Basis durch die []Jacobi-Matrix dargestellt, d.h.:
[mm] $$Dg(a)\cdot [/mm] v = [mm] J_g(a)\cdot v\quad \forall v\in\IR^3\mbox{ mit }J_g(a)=\pmat{ \partial_1g_1(a) & \partial_2g_1(a) & \partial_3g_1(a) \\ \partial_1g_2(a) & \partial_2g_2(a) & \partial_3g_2(a)}.$$ [/mm]
MfG
Ladon

Bezug
                        
Bezug
Partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:41 Di 29.09.2015
Autor: Rebellismus


> Es ist
> [mm]Dg= \sum_{i=1}^3 \partial_i g \mbox{ }dx_i = \partial_1 g \mbox{ }dx_1 + \partial_2 g \mbox{ }dx_2 + \partial_3 g \mbox{ }dx_3,[/mm]
> wobei [mm]$\partial_ig[/mm] = [mm]\frac{\partial g}{\partial x_i}$[/mm] die
> bekannte Notation als Kurzform beschreibt.
>  

Aber diese Notation enthält nur 3 partielle Ableitung und zwar die von [mm] g_1(x,y,z). [/mm] bei aufgabe b) gibt es aber 6 partielle Ableitung.
Diese Notation ist also nicht ganz vollständig


> Weitere Möglichkeit:
>  Ist [mm]g[/mm] total differenzierbar in einem Punkt [mm]a\in \IR^3[/mm],
> dann wird die durch eine Matrix [mm]A[/mm] gegebene lineare
> Abbildung [mm]Dg\colon\IR^3\to\IR^2,[/mm] [mm]x\mapsto Ax[/mm], d.h. das
> totale Differential von [mm]g[/mm] in [mm]a[/mm], bzgl. der kanonischen Basis
> durch die []Jacobi-Matrix
> dargestellt, d.h.:
>  [mm]Dg(a)\cdot v = J_g(a)\cdot v\quad \forall v\in\IR^3\mbox{ mit }J_g(a)=\pmat{ \partial_1g_1(a) & \partial_2g_1(a) & \partial_3g_1(a) \\ \partial_1g_2(a) & \partial_2g_2(a) & \partial_3g_2(a)}.[/mm]

Die Jacobi Marix ist also bei Funktionen [mm] f:\IR^m\to\IR^n [/mm] die totale Ableitung richtig?

Bei Funktionen f: [mm] \IR^n\to\IR [/mm] gilft für die totale Ableitung die übliche Schreibweise:

[mm] Df(x)=\bruch{\partial f}{\partial x_1}dx_1+...+\bruch{\partial f}{\partial x_n}dx_n [/mm]

Aber bei Funktionen [mm] f:\IR^m\to\IR^n [/mm] ist die Jacobi matrix die totale Ableitung richtig?

Bezug
                                
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Di 29.09.2015
Autor: fred97


>  
> > Es ist
> > [mm]Dg= \sum_{i=1}^3 \partial_i g \mbox{ }dx_i = \partial_1 g \mbox{ }dx_1 + \partial_2 g \mbox{ }dx_2 + \partial_3 g \mbox{ }dx_3,[/mm]
> > wobei [mm]$\partial_ig[/mm] = [mm]\frac{\partial g}{\partial x_i}$[/mm] die
> > bekannte Notation als Kurzform beschreibt.
>  >  
>
> Aber diese Notation enthält nur 3 partielle Ableitung und
> zwar die von [mm]g_1(x,y,z).[/mm] bei aufgabe b) gibt es aber 6
> partielle Ableitung.
>  Diese Notation ist also nicht ganz vollständig

Nein. g hat die Koordinatenfunktionen [mm] g_1,g_2 [/mm] und [mm] g_3. [/mm]

Was bedeutet denn  $ [mm] $\partial_ig [/mm] $ = $ [mm] \frac{\partial g}{\partial x_i}$ [/mm] $  ????


>  
>
> > Weitere Möglichkeit:
>  >  Ist [mm]g[/mm] total differenzierbar in einem Punkt [mm]a\in \IR^3[/mm],
> > dann wird die durch eine Matrix [mm]A[/mm] gegebene lineare
> > Abbildung [mm]Dg\colon\IR^3\to\IR^2,[/mm] [mm]x\mapsto Ax[/mm], d.h. das
> > totale Differential von [mm]g[/mm] in [mm]a[/mm], bzgl. der kanonischen Basis
> > durch die []Jacobi-Matrix
> > dargestellt, d.h.:
>  >  [mm]Dg(a)\cdot v = J_g(a)\cdot v\quad \forall v\in\IR^3\mbox{ mit }J_g(a)=\pmat{ \partial_1g_1(a) & \partial_2g_1(a) & \partial_3g_1(a) \\ \partial_1g_2(a) & \partial_2g_2(a) & \partial_3g_2(a)}.[/mm]
>  
> Die Jacobi Marix ist also bei Funktionen [mm]f:\IR^m\to\IR^n[/mm]
> die totale Ableitung richtig?

Nur wenn g in a total differenzierbar ist. In diesem Fall ist

  [mm] g'(a)=J_g(a). [/mm]

Das habe ich Dir aber inzwischen schon 3 mal gesagt !

FRED

>  
> Bei Funktionen f: [mm]\IR^n\to\IR[/mm] gilft für die totale
> Ableitung die übliche Schreibweise:
>  
> [mm]Df(x)=\bruch{\partial f}{\partial x_1}dx_1+...+\bruch{\partial f}{\partial x_n}dx_n[/mm]
>  
> Aber bei Funktionen [mm]f:\IR^m\to\IR^n[/mm] ist die Jacobi matrix
> die totale Ableitung richtig?


Bezug
                                        
Bezug
Partielle Ableitung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:05 Di 29.09.2015
Autor: Rebellismus



> Nein. g hat die Koordinatenfunktionen [mm]g_1,g_2[/mm] und [mm]g_3.[/mm]
>  
> Was bedeutet denn [mm][/mm][mm] \partial_ig[/mm]  [mm]=[/mm] [mm]\frac{\partial g}{\partial x_i}[/mm][mm][/mm] ????

ach jetzt verstehe ich das. Die totale Ableitung für aufgabe b) wäre dann:

[mm] Dg(x,y,z)=\vektor{y \\ yz}dx+\vektor{x+z \\ xz}dy+\vektor{y \\ xy}dz [/mm]

das stimmt doch oder?

Bezug
                                                
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Mi 30.09.2015
Autor: Ladon

Vergleiche einmal bitte []diese Definition mit []dieser Definition im Hinblick auf die Voraussetzungen!
Darüber hinaus: Das totale Differential [mm] $Df(a)\colon \IR^n\to\IR$ [/mm] ist eine []Linearform, deren [mm] $dx_i:\IR^n\to\IR$ [/mm] (auch Linearform) jedem [mm] $v\in\IR^n$ [/mm] die i-te Komponente [mm] $v_i\in\IR$ [/mm] zuordnet.
Damit sollte alles klar sein!

MfG
Ladon

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Partielle Ableitung: allgemeine frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 So 27.09.2015
Autor: Rebellismus

Kann ich für die Funktion f und g bei aufgabe a) und b) die Divergenz und Rotation bestimmen?

oder geht das nur bei funktionen f: [mm] \IR^n\to\IR^n [/mm]

mit n>1

?

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Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 So 27.09.2015
Autor: fred97


> Kann ich für die Funktion f und g bei aufgabe a) und b)
> die Divergenz und Rotation bestimmen?
>
> oder geht das nur bei funktionen f: [mm]\IR^n\to\IR^n[/mm]
>  
> mit n>1
>  
> ?


Die Divergenz ist def. für Funktionen f: [mm]\IR^n\to\IR^n[/mm]

Die Rotation ist def. für Funktionen f: [mm]\IR^3\to\IR^3[/mm]

FRED

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