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Partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Sa 02.02.2013
Autor: AntonK

Aufgabe
[mm] f(x)=\begin{pmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix} [/mm]

Hallo Leute,

Ich will zeigen, dass die Funktion in x=1 differenzierbar ist.

Es muss also gelten:

[mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{||f(x)-f(x_0)-A*(x-x_0)||_2}{||x-x_0||_2}=0 [/mm]

Die Matrix ist A, ist die Ableitung in x=1.

[mm] f'(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2x \\ 3x^2 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{||\begin{pmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}||_2}{||\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}||_2} [/mm]

Das kann doch irgendwie nicht sein oder, ich kann doch [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix} [/mm] gar nicht multiplizieren, weil es doch eigentlich transponiert sein müsste oder?

Danke schonmal!


        
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Sa 02.02.2013
Autor: Richie1401

Hallo AntonK,

> [mm]f(x)=\begin{pmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}[/mm]
>  Hallo
> Leute,
>  
> Ich will zeigen, dass die Funktion in x=1 differenzierbar
> ist.
>  
> Es muss also gelten:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{||f(x)-f(x_0)-A*(x-x_0)||_2}{||x-x_0||_2}=0[/mm]
>  
> Die Matrix ist A, ist die Ableitung in x=1.
>  
> [mm]f'(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2x \\ 3x^2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{||\begin{pmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}||_2}{||\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}||_2}[/mm]
>  
> Das kann doch irgendwie nicht sein oder, ich kann doch
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}[/mm]
> gar nicht multiplizieren, weil es doch eigentlich
> transponiert sein müsste oder?

Du musst berechnen A*(x-1), denn du es ist [mm] f:\IR^1\maptsto\IR^3. [/mm] Dein Punkt ist also gar nicht "vektorwertig", sondern eine normale reelle Zahl.

zu berechnen: [mm] \lim\limits_{x\to 1}\frac{\left|\left|\vektor{x\\x^2\\x^3}-\vektor{1\\1\\1}-\vektor{1\\2\\3}*(x-1)\right|\right|}{||(x-1)||} [/mm]

>  
> Danke schonmal!
>  


Bezug
                
Bezug
Partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Sa 02.02.2013
Autor: AntonK

[mm] \lim\limits_{x\to 1}\frac{\left|\left|\vektor{x\\x^2\\x^3}-\vektor{1\\1\\1}-\vektor{1\\2\\3}\cdot{}(x-1)\right|\right|}{||(x-1)||}= \lim\limits_{x\to 1}\frac{\left|\left|\vektor{x\\x^2\\x^3}-\vektor{1\\1\\1}-\vektor{x-1\\2x-2\\3x-3}\right|\right|}{||(x-1)||}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{(x^2-2x+1)^2+(x^3-3x+2)^2}}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{((x-1)(x-1))^2+((x-1)(x^2+x-2))^2}}{x-1} [/mm]

Naja, belassen wir das mal, ist mir jetzt zuviel Arbeit, man sieht worauf es hinausläuft. Also nochmal zum mitschreiben, wenn ich 2 oder mehr Variablen habe, dann ist der Nenner beispielsweise wirklich ein Vektor, richtig?

Bezug
                        
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:37 Sa 02.02.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

ja, wenn du mehr als zwei Variablen hast, dann hast du im Nenner in der Tat einen Vektor. Und die lineare Abbildung A ist dann auch eine Matrix und nicht nur ein "Vektor". Siehe dazu auch Jaobi-Matrix.

Prüft man den Grenzwert übrigens mal mit Mathematica nach, so erhält man wirklich [mm] \lim\ldots=0. [/mm]

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Bezug
Partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Sa 02.02.2013
Autor: AntonK

Super, dankesehr!

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