Partielle Ableitung, Taylor < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hab in 3 Wochen eine Mathe Prüfung und hänge noch sehr hintendran.
Meine Fragen sind:
Was sind eigentlich Taylor Reihen und wozu brauche ich das?
Dumme Frage: Ich blick nicht durch wie ich das Thema Taylor verstehen soll, es fängt schon an bei: Reihen und Folgen. Kann mir jemand es irgendwie bildlich beschreiben.
Zu Partiellen Ableitungen: Was sind Höhenlinien. Ich weiss dass der Gradient, die Projektion auf die Variablenebene mit der Stärksten Steigung ( anscheinend im 3 D Raum, oder der zu berechnenden Fläche), senkrecht auf den Höhenlinien liegt, aber ändert sich die Höhenlienie, je nach Richtung des Gradienten, und wieso sind sie überhaupt erwähnenswert?
Das wärs soweit.. Danke im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Do 15.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Was sind eigentlich Taylor Reihen und wozu brauche ich
> das?
Also die Taylorreihe einer Funktion f im Punkt a ist [m]\sum_{i=1}^{\infty} \bruch{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i[/m]. Wie kommt man daruaf? Wenn man einfach differenzieren und Reihenbildung vertauschen kann, dann ist die i-te Ableitung in a genau die i-te der Taylorreihe. Falls also f in einer Potenzreihe um a entwickelbar ist, so bleibt eigentlich nur die Taylorreihe als mögliche Variante ünrig!
Wozu braucht man das? Zum einen approximieren endliche Taylorpolynome oft die Funktion. Zum anderen sind viele wichtige Funktionen eben so darstellbar: die Exponentailfunktion und alle trigometrischen Funktionen, der Logartihmus auf einem eingeschränkten Bereich. Man kann also durch die Reihe schnell NÄhrungswerte berechnen.
> Dumme Frage: Ich blick nicht durch wie ich das Thema Taylor
> verstehen soll, es fängt schon an bei: Reihen und Folgen.
> Kann mir jemand es irgendwie bildlich beschreiben.
Reihen und Folgen sind ja eine Stufe vorher. Taylor bildlich? Hmmmm, du kannst ja mal die Exponentialfunktion durch endliche Taylorpolynome approximieren.
> Zu Partiellen Ableitungen: Was sind Höhenlinien.
Das hat nichts mit partiellen Ableitungen zu tun - Höhenlinien sind einfach die Urbilder zu einem fixen Wert a im Bild. Höhenlinie kommt von der Vorstellung, das eine Abbildung [m]\IR^2\to \IR[/m] die "Höhe" darstellt, wenn man den Graphen malt.
> Ich weiss
> dass der Gradient, die Projektion auf die Variablenebene
> mit der Stärksten Steigung ( anscheinend im 3 D Raum, oder
> der zu berechnenden Fläche), senkrecht auf den Höhenlinien
> liegt, aber ändert sich die Höhenlienie, je nach Richtung
> des Gradienten, und wieso sind sie überhaupt
> erwähnenswert?
Weil der Gradient senkrecht auf der Höhenlinie steht - und man kann Gitternetze zeichnen. aber besonders oft tauchen sie ja auch nicht auf.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Fr 16.09.2005 | | Autor: | BAGZZlash |
Hi!
Stell' Dir eine Landkarte vor. Hier werden Berge eingezeichnet, indem Ringe dargestellt werden, wobei jeder Ring eine bestimmte Höhe darstellt. Mit Höhenlinien (auch: Niveaukurven) kann man also eine Funktion (Berg) aus [mm] \IR^{3} [/mm] in [mm] \IR^{2} [/mm] abbilden. Ist doch toll, jeder kann sich den Berg vorstellen, der da in der Karte eingezeichnet ist. Der Gradient steht senkrecht zur Höhenlinie, was bedeutet das? Der Gradient ist ein Vektor, der in die Richtung der größten Veränderung zeigt. Wenn Du also am Fuße des Berges stehst, auf einer der Höhenlinie, zeigt Dir der Gradient an, wo es am steilsten nach oben geht (beim Wandern sollte man also den Gradienten meiden  ).
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