Partielle Diffbarkeit prüfen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mo 02.06.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | An welchen Stellen ist die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x\wurzel{x^{2}+2y^{2}} [/mm] partiell diffbar. Berechne dort die Ableitung. |
Die Funktion f ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] partiell differenzierbar. Aber wie genau zeige ich das?
Was ich bis jetzt gemacht habe ist folgendes:
Die partiellen Ableitungen lauten:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}} [/mm] für [mm] \IR \setminus [/mm] {0}
und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{2xy}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}} [/mm] für [mm] \IR \setminus [/mm] {0}.
Für x=y=0 müssen wir den Grenzwert (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0 )betrachten. Hierzu wähle ich [mm] x_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] y_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] und erhalte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{n},y_{n}) [/mm] = 0 und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{n},y_{n}) [/mm] = 0
Reicht das schon?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mo 02.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> An welchen Stellen ist die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto x\wurzel{x^{2}+2y^{2}}[/mm] partiell diffbar.
> Berechne dort die Ableitung.
>
> Die Funktion f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] partiell
> differenzierbar. Aber wie genau zeige ich das?
> Was ich bis jetzt gemacht habe ist folgendes:
>
> Die partiellen Ableitungen lauten:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] =
> [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> {0}
Das stimmt nicht.
Es ist [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\wurzel{x^{2}+2y^{2}}+\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{2}}} [/mm] für (x,y) [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0\}
[/mm]
> und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] =
> [mm]\bruch{2xy}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> {0}.
Das ist richtig, wenn Du [mm] y^2 [/mm] statt [mm] y^y [/mm] schreibst und am Ende " ..... für (x,y) $ [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0\} [/mm] $"
> Für x=y=0 müssen wir den Grenzwert (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0
> )betrachten.
Nein. Das musst Du nicht, gefährlich ist es auch !
Das funktioniert nur, wenn Du weisst dass [mm] \bruch{\partial f}{\partial x } [/mm] ( bzw. [mm] \bruch{\partial f}{\partial y }) [/mm] in (0,0) stetig ist.
Das wiisen wir aber nicht, denn wir kennen [mm] \bruch{\partial f}{\partial x }(0,0) [/mm] ( bzw. [mm] \bruch{\partial f}{\partial y }(0,0) [/mm] noch gar nicht.
Es ist [mm] \bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}, [/mm] falls dieser Limes existiert
und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}, [/mm] falls dieser Limes existiert
FRED
> Hierzu wähle ich [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und
> [mm]y_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und erhalte:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{n},y_{n})[/mm]
> = 0 und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{n},y_{n})[/mm]
> = 0
>
> Reicht das schon?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 02.06.2014 | | Autor: | Calculu |
> > An welchen Stellen ist die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm]
> > (x,y) [mm]\mapsto x\wurzel{x^{2}+2y^{2}}[/mm] partiell diffbar.
> > Berechne dort die Ableitung.
> >
> > Die Funktion f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] partiell
> > differenzierbar. Aber wie genau zeige ich das?
> > Was ich bis jetzt gemacht habe ist folgendes:
> >
> > Die partiellen Ableitungen lauten:
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] =
> > [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> > {0}
>
> Das stimmt nicht.
>
> Es ist [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\wurzel{x^{2}+2y^{2}}+\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{2}}}[/mm]
> für (x,y) [mm]\in \IR^2 \setminus \{(0,0\}[/mm]
Ja, natürlich. So hatte ich es auch auf meinem Blatt, hab falsch abgetippt.
>
> > und
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] =
> > [mm]\bruch{2xy}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> > {0}.
>
> Das ist richtig, wenn Du [mm]y^2[/mm] statt [mm]y^y[/mm] schreibst und am
> Ende " ..... für (x,y) [mm]\in \IR^2 \setminus \{(0,0\} [/mm]"
Ja natürlich. Das war schlampig.
>
> > Für x=y=0 müssen wir den Grenzwert (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0
> > )betrachten.
>
>
> Nein. Das musst Du nicht, gefährlich ist es auch !
>
> Das funktioniert nur, wenn Du weisst dass [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }[/mm]
> ( bzw. [mm]\bruch{\partial f}{\partial y })[/mm] in (0,0) stetig
> ist.
Ok, das wusste ich nicht.
> Das wiisen wir aber nicht, denn wir kennen [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)[/mm]
> ( bzw. [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)[/mm] noch gar
> nicht.
>
> Es ist [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h},[/mm]
> falls dieser Limes existiert
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}= \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{h\wurzel{h^{2}+0}-0}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} [/mm] h = 0
> und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h},[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{0-0}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} [/mm] 0 = 0
Also existieren beide Grenzwerte und die Funktion ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] differenzierbar.
Richtig so?
> falls dieser Limes existiert
>
> FRED
>
>
>
> > Hierzu wähle ich [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und
> > [mm]y_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und erhalte:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{n},y_{n})[/mm]
> > = 0 und
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{n},y_{n})[/mm]
> > = 0
> >
> > Reicht das schon?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mo 02.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > An welchen Stellen ist die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm]
> > > (x,y) [mm]\mapsto x\wurzel{x^{2}+2y^{2}}[/mm] partiell diffbar.
> > > Berechne dort die Ableitung.
> > >
> > > Die Funktion f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] partiell
> > > differenzierbar. Aber wie genau zeige ich das?
> > > Was ich bis jetzt gemacht habe ist folgendes:
> > >
> > > Die partiellen Ableitungen lauten:
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] =
> > > [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> > > {0}
> >
> > Das stimmt nicht.
> >
> > Es ist [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\wurzel{x^{2}+2y^{2}}+\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{2}}}[/mm]
> > für (x,y) [mm]\in \IR^2 \setminus \{(0,0\}[/mm]
>
> Ja, natürlich. So hatte ich es auch auf meinem Blatt, hab
> falsch abgetippt.
> >
> > > und
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] =
> > > [mm]\bruch{2xy}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> > > {0}.
> >
> > Das ist richtig, wenn Du [mm]y^2[/mm] statt [mm]y^y[/mm] schreibst und am
> > Ende " ..... für (x,y) [mm]\in \IR^2 \setminus \{(0,0\} [/mm]"
>
> Ja natürlich. Das war schlampig.
> >
> > > Für x=y=0 müssen wir den Grenzwert (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0
> > > )betrachten.
> >
> >
> > Nein. Das musst Du nicht, gefährlich ist es auch !
> >
> > Das funktioniert nur, wenn Du weisst dass [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }[/mm]
> > ( bzw. [mm]\bruch{\partial f}{\partial y })[/mm] in (0,0) stetig
> > ist.
> Ok, das wusste ich nicht.
>
> > Das wiisen wir aber nicht, denn wir kennen [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)[/mm]
> > ( bzw. [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)[/mm] noch gar
> > nicht.
> >
> > Es ist [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h},[/mm]
> > falls dieser Limes existiert
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}= \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{h\wurzel{h^{2}+0}-0}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h \rightarrow 0}[/mm] h = 0
Aufgepasst: es ist [mm] \wurzel{h^{2}}=|h|
[/mm]
>
>
> > und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h},[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{0-0}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h \rightarrow 0}[/mm] 0 = 0
> Also existieren beide Grenzwerte und die Funktion ist auf
> ganz [mm]\IR^{2}[/mm] differenzierbar.
>
>
>
> Richtig so?
Ja
FRED
>
> > falls dieser Limes existiert
> >
> > FRED
> >
> >
> >
> > > Hierzu wähle ich [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und
> > > [mm]y_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und erhalte:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{n},y_{n})[/mm]
> > > = 0 und
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{n},y_{n})[/mm]
> > > = 0
> > >
> > > Reicht das schon?
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Mo 02.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank Fred !!!
|
|
|
|
