Partielle Diffbarkeit > stetig < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm]U\subset \IR^{n}[/mm] eine offene Kugel und [mm]f:U \to \IR^{m}[/mm] eine partiell diffbare Abbildung mit beschränkten partiellen Ableitungen, d.h. es gibt eine positive Konstante L > 0 so dass [mm]||\frac{\partial f}{\partial x_i}|| \le L[/mm]. Zeige, dass [mm]f[/mm] in U gleichmäßig stetig ist. |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe finde ich den Fehler in meiner Argumentation nicht...
Könntet ihr mir den bitte aufzeigen?
Betrachten wir die Funktion [mm]g:x_i \mapsto f(x_1,...,x_n)[/mm], so ist diese nach Voraussetzung differenzierbar und die Ableitung beschränkt durch [mm]L[/mm]. Damit ist [mm]g[/mm] Lipschitz-stetig.
Seien nun [mm]x,y\in \IR^{n}[/mm], dann ist
||f(x)-f(y)|| [mm] \le ||f(x_1,x_2,...,x_n) [/mm] - [mm] f(y_1,x_2,...,x_n)|| [/mm] + [mm] ||f(y_1,x_2,...,x_n) [/mm] - [mm] f(y_1,y_2,x_3,...,x_n)|| [/mm] + ... + [mm] ||f(y_1,...,y_{n-1},x_n) [/mm] - [mm] f(y_1,...,y_n)|| \le L(|x_1 [/mm] - [mm] y_1| [/mm] + ... + [mm] |x_n [/mm] - [mm] y_n|) [/mm] = L [mm] ||x-y||_1
[/mm]
Damit ist [mm]f[/mm] sogar Lipschitz-stetig. Das kann doch gar nicht sein! So ein Ergebnis kriege ich nicht mal, wenn [mm]f[/mm] als total differenzierbar vorausgesetzt wird.
Einen Fehler habe ich schon: Dieser Umweg über die Dreiecksungleichung verursacht das Problem, dass die Zwischen-Punkte evtl. nicht mehr in der Umgebung liegen. Aber würde ich zum Beispiel U als einen offenen Quader annehmen, dürfte das doch auch keine Probleme machen....
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Sa 28.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] f_j [/mm] die j-te Komponente von f. Dann gibt es doch eine Konstante [mm] c_j [/mm] mit
[mm] $||gradf_j(x)|| \le c_j$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] U.
Mit dem Mittelwertsatz folgt dann, dass [mm] f_j [/mm] auf U Lipschitzstetig, also auch glm. stetig ist.
Damit gilt dasselbe auch für f.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
danke für deine Antwort.
Aber benötigt man für die Anwendung des Mittelwertsatzes nicht mind. die totale Differenzierbarkeit? Ich habe ja NUR partielle.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 So 29.05.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> Hallo Fred,
>
> danke für deine Antwort.
> Aber benötigt man für die Anwendung des Mittelwertsatzes
> nicht mind. die totale Differenzierbarkeit? Ich habe ja NUR
> partielle.
Hallo Stefan,
ich fürchte Du hast recht. Ich hab mal wieder nicht genau hingesehen.
Ich denk weiter drüber nach
Gruß FRED
>
> Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
> Hallo Stefan,
>
> ich fürchte Du hast recht. Ich hab mal wieder nicht genau
> hingesehen.
>
> Ich denk weiter drüber nach
Ok,
danke fred.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 30.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
