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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 21.10.2008 | | Autor: | KurrKurr |
| Aufgabe | [mm] \integral_{m}{\vec a * \delta \vec r dm}=\integral_{m}{\vec a * \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial \vec r}{\partial q_i} \delta q_i dm} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \left[ \bruch{d}{dt} \integral_{m}{\vec v * \bruch{\partial \vec r}{\partial q_i} dm} - \integral_{m}{\vec v * \bruch{d}{dt}\left( \bruch{\partial \vec r}{\partial q_i} \right) dm}\right] \delta q_i
[/mm]
Da
[mm] \vec{v}=\bruch{d\vec r}{dt}=\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial \vec r}{\partial q_i}\dot q_i [/mm] + [mm] \bruch{\partial \vec r}{\partial t}
[/mm]
ist und daraus
[mm] \bruch{\partial \vec r}{\partial q_i} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \vec v}{\partial \dot q_i}
[/mm]
folgt, geht das erste Integral in der eckigen Klammer über in
[mm] \integral_{m}{\vec v * \bruch{\partial \vec v}{\partial \dot q_i} dm} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral_{m}{\bruch{\partial (v^2)}{\partial \dot q_i}dm} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\bruch{\partial}{\partial \dot q_i}\integral_{m}{v^2 dm}=\bruch{\partial T}{\partial \dot q_i}
[/mm]
mit
[mm] \vec{v} \cdots [/mm] Geschwindigkeitsvektor [mm] \vec{v}=\bruch{d\vec{r}}{dt}
[/mm]
[mm] \vec{r} \cdots \vec{r} [/mm] = [mm] \vec{r} (q_1, q_2, \cdots, q_n,t)
[/mm]
[mm] q_i \cdots [/mm] Freiheitsgrade des Systems
[mm] \dot q_i \cdots \bruch{\partial q_i}{\partial t}
[/mm]
[mm] \integral_{m}{f() dm} \cdots [/mm] Integral über die Masse des Körpers
[mm] \normalfont{T} \cdots [/mm] Kinetische Energie |
Diese Herleitung ist aus einem Mechanikskriptum. Es werden die Lagrangeschen Gleichungen hergeleitet. Es fehlt mir beim Nachvollziehen derselbigen nur ein Schritt:
Bei der Umformung des ersten Integrals in der eckigen Klammer: Woher kommt nach der ersten Identität das "[mm]\bruch{1}{2}[/mm]" vor dem Integral?
Bitte um Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen, Chris
P.S.: Zum Selbernachlesen verweise ich auf Seite 38 aus:
TROGER Hans, Skriptum zur Vorlesung Mechanik 3, TU-Wien, Ausgabe 24. Sept. 2008
PPS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 21.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
verkuerzt geschrieben also ein dimensional, weil
[mm] (v^2)'=2v*v' [/mm] ist
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Di 21.10.2008 | | Autor: | KurrKurr |
Danke für die schnelle Hilfe! Ich dachte mir irgendwie, dass die Lösung meines Problems wahrscheinlich eine ganz einfache sein muss.
MfG Chris
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