Partielle Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei f: [mm] $\IR^2 \to \IR$ [/mm] mit [mm] $$f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}$$
[/mm]
Zeigen Sie, dass f partiell diff'bar in jedem $a [mm] \in \IR^2$. [/mm] |
Hallo allerseits!
Dieses Beispiel wurde in der Vorlesung besprochen, leuchtet mir aber nicht ganz ein. Laut Vorlesung gilt
$$f(x,0) = 0 \ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) [/mm] = 0$$
Analog für $x=0$ und der partiellen Ableitung nach $y$.
Daraus folgt dann die Behauptung.
Diese Schritte leuchten mir auch alle ein, aber wenn ich die partielle Ableitung ohne "Nullsetzen" berechne, erhalte ich
[mm] $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] \frac{y^3 - x^2y}{(x^2+y^2)^2}. [/mm] Nun konvergiert aber nicht mehr i.A. [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ [/mm] gegen $(0,0)$, wenn $(x,y)$ gegen $(0,0)$ geht.
Man kann z.B. [mm] $(0,\frac{1}{n})$ [/mm] bertrachten.
Warum ist das kein Widerspruch?
Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Walde |
hi subclasser,
wären die part. Ableitungen auch noch stetig (in einer offenen Umgebung),wäre f sogar ![[]](/images/popup.gif) total differenzierbar. Das wäre eine stärkere Forderung,die hier (wie du gezeigt hast) nicht erfüllt ist. f kann aber trotzdem part. diffbar. sein
LG walde
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Hallo Walde!
Vielen Dank für deine Mühe. Leider ist mir immer noch nicht klar, wie man aus den oberen Schritten die partielle Differenzierbarkeit in $(0,0)$ folgern kann. Um den Wert der partiellen Ableitung an der Stelle $(0,0)$ zu erhalten, muss man doch den Grenzwert betrachten. Welche Variante ist denn hier richtig?
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ 0} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$$
[/mm]
Ist y denn hier "beliebig, aber fest"?. Und warum darf man dann einfach $y=0$ setzen [mm] ($\frac{\partial f}{\partial x}$ [/mm] ist doch eine Abbildung von [mm] $\IR^2$ [/mm] nach [mm] $\IR$)?
[/mm]
Gruß und schönes Wochende!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also ich glaube, du hast die Definition der partiellen Differenzierbarkeit noch nicht so recht verstanden.
Angenommen du hast eine Funktion f(x1,...,xn). Dann ist:
[mm] \bruch{\partial}{\partialx_{j}}f(a)
[/mm]
=lim [mm] \bruch{1}{t}(f(a+te_{j})-f(a) [/mm] für t gegen 0, a aus [mm] IR^{n} [/mm] und [mm] e_{j} [/mm] bezeichnet den j. Einheitsvektor.
Das bedeutet, dass du um eine Funktion partiell in a nach [mm] x_{j} [/mm] abzuleiten, die "partielle" Funktion:
[mm] f^{j}(x)=f(a1,...,aj-1,x,aj+1,...,an) [/mm] nach x ableiten musst. Die anderen Werte setzt du im Prinzip schon ei und behandelst sie als Konstante.
Der Fehler in deiner Argumentation war, dass du y nicht als Konstante (in deinem Fall war es ja 0) angesehen hast.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Sa 26.05.2007 | | Autor: | subclasser |
Hallo!
Vielen Dank! Ich glaube, jetzt ist der Groschen gefallen 
Gruß!
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