Partielle Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mi 16.07.2014 | | Autor: | NoJoke |
Hallo,
es geht wieder um einen partiellen Integration.
[mm] \integral {\bruch{ln(x)}{x} dx}
[/mm]
u= ln(x) [mm] u´=\bruch{1}{x}
[/mm]
v´= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] v= ln(x)
=u*v - [mm] \integral{u' * v dx}
[/mm]
= ln(x)*ln(x) - [mm] \integral{\bruch{1}{x} * ln(x) dx}
[/mm]
[mm] =ln^{2}(x) [/mm] - ln(x)*x(ln(x)-1)
wie kann ich das am Ende zusammenfassen? Oder muss ich das überhaupt zusammenfassen ? danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 16.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo!
> Hallo,
>
> es geht wieder um einen partiellen Integration.
>
> [mm]\integral {\bruch{ln(x)}{x} dx}[/mm]
>
> u= ln(x) [mm]u´=\bruch{1}{x}[/mm]
> v´= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] v= ln(x)
>
> =u*v - [mm]\integral{u' * v dx}[/mm]
>
> = ln(x)*ln(x) - [mm]\integral{\bruch{1}{x} * ln(x) dx}[/mm]
Bis jetzt ist es ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=ln^{2}(x)[/mm] - ln(x)*x(ln(x)-1)
Und was soll das hier darstellen. Hast du jetzt locker aus der Hüfte das verbleibende Integral (falsch) gelöst?
Fällt dir nicht auf, dass das verbleibende Integral genau jenes aus der Angabe ist? Nennen wir das gesuchte Integral der Einfachheit halber $I$. Dann hast du bisher berechnet:
[mm] $\underline{I}=\integral {\bruch{ln(x)}{x} dx}=\ldots=ln(x)*ln(x)-\integral{\bruch{1}{x} * ln(x) dx}=\underline{ln^2{x}-I}$
[/mm]
Der unterstrichene Teil stell eine Gleichung dar, die wir nach I, also dem gesuchten Integral, leicht auflösen können und wir erhalten
[mm] $I=\frac{1}{2}*ln^2{x}$
[/mm]
und sind fertig.
Das Beispiel lässt sich übrigens leichter mit Substitution [mm] $(u=ln\;x)$ [/mm] lösen.
Oder du kennst die "Regel" [mm] $\integral{f(g(x))*g'(x)}dx=F(g(x))$ [/mm] (das ist quasi die Umkehrung der Kettenregel beim Ableiten) und ersparst dir dabei das explizite Anschreiben der Substitution. $F$ ist dabei eine Stammfunktion von $f$.
Also
[mm] $\integral{(ln\;x)^1*\frac{1}{x}}dx=\ldots$
[/mm]
man sieht bei dieser Schreibweise deutlich, dass die Ableitung der "inneren" Funktion [mm] $(ln\;x)$ [/mm] als Faktor daneben steht und man daher nur mehr die "äußere" Funktion $(\ [mm] ()^1\ [/mm] )$ integrieren muss:
[mm] $\ldots=\frac{(ln\;x)^2}{2}+C$.
[/mm]
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 16.07.2014 | | Autor: | NoJoke |
Entschuldigung dass ich so spät antworte..
und wie soll ich dann [mm] \integral{ \bruch{1}{x}* ln(x) dx} [/mm]
lösen ist ja wieder ein Produkt?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Entschuldigung dass ich so spät antworte..
> und wie soll ich dann [mm]\integral{ \bruch{1}{x}* ln(x) dx}[/mm]
> lösen ist ja wieder ein Produkt?
Nein, stelle die erhaltene Gleichung nach dem Integral um und teile durch den Vorfaktor ....
Gem. meinem Vorredner ist
[mm]\red{\int{\frac{\ln(x)}{x} \ dx}} \ = \ \ln^2(x) \ - \red{\int{\frac{\ln(x)}{x} \ dx}}[/mm]
Rechne also auf beiden Seiten [mm]+\red{\int{\frac{\ln(x)}{x} \ dx}}[/mm] und löse dann nach dem Integral auf ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Mi 16.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Entschuldigung dass ich so spät antworte..
> und wie soll ich dann [mm]\integral{ \bruch{1}{x}* ln(x) dx}[/mm]
> lösen ist ja wieder ein Produkt?
Ich hatte ja schon Bedenken, dass ich zu viel vorgerechnet und dich damit um die Chance, dich selbst auch einzubringen gebracht hätte.
Also wie es scheint hast du wirklich noch nicht bemerkt, dass diese "neue" sich ergebende Integral gar nicht so neu ist und ja genau das Integral ist, dass in der Angabe steht und das du berechnen möchtest! Du kommst also auf eine Gleichung in dem gesuchten Integral, welche du leicht lösen kannst. Hast du das beim Lesen meiner Antwort überlesen?
Es gilt ja wohl
[mm]\integral{ \bruch{1}{x}* ln(x) dx}=\integral{ \bruch{ln(x)}{x}dx}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mi 16.07.2014 | | Autor: | NoJoke |
Ich soll das mittels partieller Integration machen steht konkret in der Aufgabe deswegen habe ich es so gemacht.
|
|
|
|
