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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:18 Mo 09.02.2009 | | Autor: | jennynoobie |
| Aufgabe | Bestimme die folgenden Integrale durch partielle Integration:
a) [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin^4 x dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{1}^{e}{(xe^{-x}, 2x ln(x)) dx}
[/mm]
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Ausgangspunkt ist ja folgende Formel:
[mm] \integral_{}^{}{uv' dx}=uv-\integral_{}^{}{u'v dx} [/mm] (bzw. [mm] \integral_{}^{}{u'v dx}=uv-\integral_{}^{}{uv' dx})
[/mm]
Diese versuche ich nun bei der Aufgabe anzuwenden:
a) [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin^2(x)*sin^2(x) dx}=[-sin^2(x)*cos^2(x)]_{0}^{\pi}- \integral_{0}^{\pi}{-cos^2(x)*cos^2(x) dx}=[-sin^2(x)*cos^2(x)]_{0}^{\pi}+ \integral_{0}^{\pi}{cos^4(x) dx}
[/mm]
Irgendwie drehe ich mich hier im Kreis und komme zu keinem Ergebnis.
b) [mm] \integral_{1}^{e}{(xe^{-x}, 2x ln(x)) dx}
[/mm]
Ich weiß leider nicht wie ich diese Aufgabe anpacken kann. Das Komma irritiert mich hier, und ich weiß nicht wie ich die beiden Teile miteinander verrechnen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jenny!
Du bildest hier falsche Teil-Stammfunktionen. Denn [mm] $\cos^2(x)$ [/mm] ist keine Stammfunktion zu [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] .
Zerlege hier wie folgt:
[mm] $$\sin^4(x) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\sin(x)}_{= \ u'}*\underbrace{\sin^3(x)}_{= \ v}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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[mm] \integral_{0}^{\pi}{ \sin^4(x)dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{\underbrace{\sin(x)}_{= \ u'}}\cdot{}\underbrace{\sin^3(x)}_{= \ v}dx= [-cos(x)*sin^3(x)]_{0}^{\pi}-\integral_{0}^{\pi}{-cos(x)*3cos(x)*sin^2(x) dx}= [-cos(x)*sin^3(x)]_{0}^{\pi}+3\integral_{0}^{\pi}{cos^2(x)*sin^2(x) dx}
[/mm]
mh, scheint mir nicht zu gelingen die Aufgabe zu lösen. Fehlt mir da noch ein entscheidender Schritt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jenny!
Ersetze nun im neuen Integral:
[mm] $$\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(x)$$
[/mm]
Damit erhältst Du wiederum das Ausgangsintegral auch auf der rechten Seite der Gleichung und kannst entsprechend umstellen.
Gruß
Loddar
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Achso, dann müsste als Ergebnis nun das herauskommen:
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{ \sin^4(x)dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\underbrace{\sin(x)}_{= \ u'}}\cdot{}\underbrace{\sin^3(x)}_{= \ v}dx= [-cos(x)\cdot{}sin^3(x)]_{0}^{\pi}-\integral_{0}^{\pi}{-cos(x)\cdot{}3cos(x)\cdot{}sin^2(x) dx}= [-cos(x)\cdot{}sin^3(x)]_{0}^{\pi}+3\integral_{0}^{\pi}{cos^2(x)\cdot{}sin^2(x) dx}=3\pi [/mm] $
Ist das richtig?
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Hallo jennynoobie,
> Achso, dann müsste als Ergebnis nun das herauskommen:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{ \sin^4(x)dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\underbrace{\sin(x)}_{= \ u'}}\cdot{}\underbrace{\sin^3(x)}_{= \ v}dx= [-cos(x)\cdot{}sin^3(x)]_{0}^{\pi}-\integral_{0}^{\pi}{-cos(x)\cdot{}3cos(x)\cdot{}sin^2(x) dx}= [-cos(x)\cdot{}sin^3(x)]_{0}^{\pi}+3\integral_{0}^{\pi}{cos^2(x)\cdot{}sin^2(x) dx}=3\pi[/mm]
>
> Ist das richtig?
Nein, du bist leider noch nicht fertig 
Befolge Loddars Tipp: (ohne Grenzen)
[mm] $\green{\int{\sin^4(x) \ dx}}=-\cos(x)\cdot{}\sin^3(x)+3\cdot{}\int{\sin^2(x)\cdot{}\blue{\cos^2(x)} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\cos(x)\cdot{}\sin^3(x)+3\cdot{}\int{\sin^2(x)\cdot{}(\blue{1-\sin^2(x)}) \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\cos(x)\cdot{}\sin^3(x)+3\cdot{}\int{\left(\sin^2(x)-\sin^4(x)\right) \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\cos(x)\cdot{}\sin^3(x)+3\cdot{}\int{\sin^2(x)\cdot{}\blue{\cos^2(x)} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\cos(x)\cdot{}\sin^3(x)+3\cdot{}\int{\sin^2(x) \ dx}\green{-3\cdot{}\int{\sin^4(x) \ dx}}$
[/mm]
Nun auf beiden Seiten [mm] $\green{+3\cdot{}\int{\sin^4(x) \ dx}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 4\cdot{}\int{\sin^4(x) \ dx}=-\cos(x)\cdot{}\sin^3(x)+3\cdot{}\int{\sin^2(x) \ dx}$
[/mm]
Nun bist du fast fertig, nur noch das Integral mit dem [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] berechnen, dann das Ganze durch 4 teilen.
Schließlich noch die Grenzen einsetzen
LG
schachuzipus
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> Nun bist du fast fertig, nur noch das Integral mit dem
> [mm]\sin^2(x)[/mm] berechnen, dann das Ganze durch 4 teilen.
[mm] \int{\sin^2(x) \ dx}=\int{\sin(x)*sin(x) \ dx}=-cosxsinx-\int{-cosx*cosxdx}=-cosxsinx+\int{1-sin^2x dx}=-cosxsinx+x-\int{sin^2x dx}
[/mm]
[mm] 2*\int{\sin^2(x)dx}=x-cosxsinx
[/mm]
[mm] \int{\sin^2(x)dx}=\bruch{1}{2}(x-cosxsinx)
[/mm]
Nun wird das Ergebnis in die voherige Gleichung eingesetzt und mit dem Grenzwert berechnet:
[mm] 4\cdot{}\int_{0}^{\pi}{\sin^4(x) \ dx}=[-\cos(x)\cdot{}\sin^3(x)+\bruch{3}{2}(x-cosxsinx)]_{0}^{\pi}=\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
Jetzt noch mit 4 teilen:
[mm] \int_{0}^{\pi}{\sin^4(x) \ dx}=\bruch{3}{8}\pi
[/mm]
Ist das so jetzt richtig?
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Das ging schnell, danke und eine gute Nacht wünsche ich dir auch. Ich muss hier noch ein bisschen rechnen bevor ich die Welt der Träume betreten darf 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jenny!
Auch ich finde diese Darstellung mit dem Komma etwas merkwürdig. Ich könnte mir nur vorstellen, dass dies als Vektor zu sehen, den man komponentenweise integriert:
[mm] $$\integral{\vektor{x*e^{-x}\\ 2x*\ln(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\integral{x*e^{-x} \ dx} \\ \integral{2x*\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ ...$$
Beide Integrale sind mittels partieller Integration zu lösen.
Gruß
Loddar
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> [mm]\integral{\vektor{x*e^{-x}\\ 2x*\ln(x)} \ dx} \ = \ \vektor{\integral{x*e^{-x} \ dx} \\ \integral{2x*\ln(x) \ dx}} \ = \ ...[/mm]
1. [mm] \integral_{1}^{e}{\underbrace{x}_{=u}*\underbrace{e^{-x}}_{=v'} \ dx}=[x*-e^{-x}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{-e^{-x}\ dx}=[x*-e^{-x}*-e^{-x}]_{1}^{e}=[x*e^{-2x}]_{1}^{e}=\bruch{1}{e^e} [/mm] - [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
2. [mm] \integral_{1}^{e}{{\underbrace{2x}_{=u}*\underbrace{ln(x)}_{=v'} \ dx}}=[2x*lnx*x]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{2*lnx*x \ dx} \gdw 2*\integral_{1}^{e}{2x*lnx \ dx}= [2x*lnx*x]_{1}^{e}=2e^2 [/mm] also [mm] \integral_{1}^{e}{2x*lnx \ dx}=e^2
[/mm]
Ist das alles richtig?
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Hallo,
bei 1. hast du richtig begonnen,
[mm] -x*e^{-x}-\integral_{}^{}{-e^{-x} dx}
[/mm]
[mm] =-x*e^{-x}+\integral_{}^{}{e^{-x} dx}
[/mm]
[mm] =-x*e^{-x}-e^{-x}
[/mm]
jetzt erneut die Grenzen einsetzen
bei 2. stimmt die Stammfunktion zu ln(x) nicht, die lautet v=x*ln(x)-x
du bekommst dann [mm] x^2*ln(x)-\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
Steffi
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Hallo und danke für deine Antwort.
1. Bei der ersten Aufgabe sollte das Ergebnis wie folgt lauten:
$ [mm] \integral_{1}^{e}{\underbrace{x}_{=u}\cdot{}\underbrace{e^{-x}}_{=v'} \ dx}=[x\cdot{}-e^{-x}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{-e^{-x}\ dx}=[x\cdot{}-e^{-x}\cdot{}-e^{-x}]_{1}^{e}=[x\cdot{}e^{-2x}]_{1}^{e}=e*\bruch{1}{e^e} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] $
2. [mm] \integral_{1}^{e}{{\underbrace{2x}_{=u}\cdot{}\underbrace{ln(x)}_{=v'} \ dx}}=[2x\cdot{}(x*lnx-x)]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{2\cdot{}(x*lnx-x) \ dx} [/mm]
[mm] \gdw 2*\integral_{1}^{e}{2x*ln(x) \ dx}=[2x\cdot{}(x*lnx-x)]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{x}=[2x\cdot{}(x*lnx-x)-\bruch{x^2}{2}]_{1}^{e}=\bruch{3-e^2}{2}
[/mm]
Wär nett wenn das jemand von euch kontrollieren könnte.
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Hallo,
1)
ist leider immer noch falsch, ich habe doch in meiner vorhergehenden Antwort die Stammfunktion schon vollständig aufgeschrieben, du machst immer noch den Fehler, das du nicht zwei Summanden hast, bei dir stehen plötzlich "mal" und "minus" unmittelbar hintereinander
2)
u=2x
u'=2
v'=ln(x)
v=x*ln(x)-x
[mm] \integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}=2x*(x*ln(x)-x)-\integral_{}^{}{2*(x*ln(x)-x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}=2x*(x*ln(x)-x)-\integral_{}^{}{2x*ln(x)-2x dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}=2x*(x*ln(x)-x)-\integral_{}^{}{2x*ln(x)dx}+\integral_{}^{}{2xdx}
[/mm]
jetzt steht auf beiden Seiten der Gleichung [mm] \integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}, [/mm] wir addieren [mm] \integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}=2x*(x*ln(x)-x)+\integral_{}^{}{2xdx}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}=2x*(x*ln(x)-x)+x^{2}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}=2x^{2}*ln(x)-2x^{2}+x^{2}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}=2x^{2}*ln(x)-x^{2}
[/mm]
Division durch 2
[mm] \integral_{}^{}{2x*ln(x) dx}=x^{2}*ln(x)-\bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
jetzt liegt also die Stammfunktion vor, jetzt die Grenzen einsetzen,
Steffi
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Danke für die ausführliche Antwort. Ich hoffe ich kriege es jetzt auf die Reihe:
1.) [mm] \integral_{1}^{e}{\underbrace{x}_{=u}\cdot{}\underbrace{e^{-x}}_{=v'} \ dx}=[x\cdot{}-e^{-x}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{-e^{-x}\x}=[x\cdot{}-e^{-x}-e^{-x}]_{1}^{e}=[-e^{-x}(x+1)]_{1}^{e}=-\bruch{e-1}{e^{e}}+\bruch{2}{e}
[/mm]
2.) [mm] \integral_{1}^{e}{2x\cdot{}ln(x) dx}=[x^{2}\cdot{}ln(x)-\bruch{1}{2}x^{2}]_{1}^{e}=\bruch{1}{2}e^{2}-\bruch{1}{2}
[/mm]
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Hallo,
1) im Zähler des 1. Summanden steht e+1 (in der Klammer steht x+1)
2) der 2. Summand [mm] +\bruch{1}{2} [/mm] (minus minus gibt plus)
Steffi
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Ich danke dir
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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