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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Do 21.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral duch partielle Integration:
[mm] \integral_{0}^{1/2}{cosh²(x) dx} [/mm] |
Hi,
ich muss zugeben, ganze Sache mit Integrieren ... ist mir noch sehr schleierhaft. Ich habs noch nicht so ganz verstaden ;)
Ich habs jetzt mal so probiert:
[mm] \integral_{0}^{1/2}{cosh²(x) dx}=\integral_{0}^{1/2}{cosh(x)*cosh(x) dx}=\integral_{0}^{1/2}{\bruch{1}{2}\underbrace{(e^x+x^{-x})}_{f(x)}*\bruch{1}{2}\underbrace{(e^x+x^{-x})}_{g'(x)} dx}=\bruch{1}{4}[(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})]_{0}^{1/2}-\integral_{0}^{1/2}(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Wenn ja, wie gehts jetzt hier weiter, muss ich nochmal partiell integrieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Do 21.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xtraxtra!
Das sieht soweit richtig aus. Einfacher geht es aber, wenn Du gleich benutzt:
[mm] $$\left[ \ \cosh(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \sinh(x)$$
[/mm]
[mm] $$\left[ \ \sinh(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \cosh(x)$$
[/mm]
Nun in Deinem neuen Integral folgende Identität verwenden:
[mm] $$\cosh^2(x)-\sinh^2(x) [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Do 21.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Danke für den Tipp gleich mit sinh und cosh zu arbeiten.
Aber deinen Tipp mit der Indentität, weiß ich nicht anzuwenden.
Ich habe jetzt:
[mm] \integral_{0}^{1/2}cosh(x)*cosh(x)=[cosh(x)*sinh(x)]_{0}^{1/2}-\integral_{0}^{1/2}sinh(x)*cosh(x)
[/mm]
[mm] =[cosh(x)*sinh(x)]_{0}^{1/2}-[sinh(x)*cosh(x)]_{0}^{1/2}-\integral_{0}^{1/2}sinh(x)*cosh(x)=...
[/mm]
Das geht doch jetzt ewig so weiter, oder nicht?
Alledings sehe ich, dass [mm] [cosh(x)*sinh(x)]_{0}^{1/2}-[sinh(x)*cosh(x)]_{0}^{1/2}=0
[/mm]
Kann ich daraus schließen, dass $ [mm] \integral_{0}^{1/2}{cosh²(x) dx} [/mm] $=0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Do 21.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xtraxtra!
> Kann ich daraus schließen, dass
> [mm]\integral_{0}^{1/2}{cosh²(x) dx} [/mm]=0 ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es handelt sich doch um eine Funktion, die überall größer als 1 ist. Da kann dieses Ergebnis nicht stimmen.
> Ich habe jetzt: [mm]\integral_{0}^{1/2}cosh(x)*cosh(x)=[cosh(x)*sinh(x)]_{0}^{1/2}-\integral_{0}^{1/2}sinh(x)*cosh(x)[/mm]
Im hinteren Integral muss es [mm] $\integral{\sinh(x)*\red{\sinh(x)} \ dx}$ [/mm] lauten.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:54 Do 21.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Sorry, so hatte ich es auch auf meinem Blatt stehen, war ein Abschreibfehler.
Dennoch komm ich dann aber nicht weiter.
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hi,
der Trick bei Aufaben der Art
[mm]\integral trigonometrische Funktion im Quadrat, dx [/mm] ist, das man einmal patiell integriert, dann die Identität benutzt um auf der rechten Seite der Gleichung das Gleich wie auf der linken Seite zu erhalten, welches mann dan rüber addiert und durch 2 teilt.
Bsp:
[mm]\integral_{}^{} sin(x)^2 \, dx = \integral_{}^{} sin(x) * sin(x)\, dx = -cos(x) * sin(x) - \integral_{}^{} - cos(x) * cos(x)\, dx = - cos(x) * sin(x) + \integral_{}^{} 1 - sin(x)^2\, dx = -cos(x) * sin(x) + x - \integral_{}^{} sin(x)^2\, dx [/mm]
Daraus folgt:
[mm] 2 * \integral sin(x)^2\, dx = -cos(x) * sin(x) + x[/mm]
und jetzt noch auf beiden Seiten durch 2 teilen.
Die Aufgabe mit sinh verläuft vollständig analog. Viel Erfolg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 21.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Danke der letzte Tipp war extrem Hilfreich. Ich habe es jetzt so probiert:
[mm] \integral_{0}^{1/2}{cosh(x)cosh(x) dx}=\underbrace{cosh(1/2)sinh(1/2)-cosh(0)sinh(0)}_{:=I}-\integral_{0}^{1/2}sinh(x)sinh(x)dx
[/mm]
[mm] =I-\integral_{0}^{1/2}(cosh²(x)-1)dx=I-1/2-\integral_{0}^{1/2}cosh²(x)dx
[/mm]
=>
[mm] 2\integral_{0}^{1/2}cosh²(x)dx=cosh(1/2)sinh(1/2)-\underbrace{cosh(0)sinh(0)}_{=0}-1/2
[/mm]
=> [mm] \integral_{0}^{1/2}cosh²(x)dx=1/2cosh(1/2)sinh(1/2)-1/4
[/mm]
Ist das soweit richtig, oder muss ich hier noch weiter vereinfachen?
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Damit wäre die Aufgabe meiner Meinung nach gelöst, es sei denn du willst wie oben noch die hyperbolicus funktionen durch die Exponential Funktion ausdrücken. ob sich da was vereinfach lässt kann ich dir aus dem kopf leider nicht sagen. ev. einfach mal ausprobieren und posten 
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