Partielle Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Do 18.02.2010 | | Autor: | bAbUm |
| Aufgabe | [mm] \bruch{x^3+2x^2+5x+2}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}
[/mm]
|
Hallo.
Habe hier ein Problem mit der part. Integration.
mein ansatz (nach polynomdivision des nenners um ihn in linearfaktoren zu zerlegen und um die nullstellen zu finden):
[mm] \bruch{x^3+2x^2+5x+2}{(x+1)(x+1)(x^2+1)}= \bruch{A}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x^2+1)}
[/mm]
nun das ergebnis meiner lösung:
[mm] \bruch{x^3+2x^2+5x+2}{(x+1)(x+1(x^2+1)}= \bruch{A}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{Cx+D}{(x^2+1)}
[/mm]
so was ich nicht verstehe:
-das Cx+D, warum kommt da nicht nur C hin?
-wie kommt es das in der Lösung jeweils einmal (x+1), [mm] (x+1)^2 [/mm] und [mm] (x^2+1) [/mm] im nenner verwendet wird. ich habe gelernt das man dafür die nullstellen nimmt. in der lösung sind das ja auch die nullstellen aber wieso dann nicht so wie ich es gemacht habe?
!!!!Danke!!!!!
|
|
| |
|
Hallo bAbUm,
> [mm]\bruch{x^3+2x^2+5x+2}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}[/mm]
>
> Hallo.
> Habe hier ein Problem mit der part. Integration.
>
> mein ansatz (nach polynomdivision des nenners um ihn in
> linearfaktoren zu zerlegen und um die nullstellen zu
> finden):
>
> [mm]\bruch{x^3+2x^2+5x+2}{(x+1)(x+1)(x^2+1)}= \bruch{A}{(x+1)}[/mm]
> + [mm]\bruch{B}{(x+1)}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(x^2+1)}[/mm]
>
> nun das ergebnis meiner lösung:
>
> [mm]\bruch{x^3+2x^2+5x+2}{(x+1)(x+1(x^2+1)}= \bruch{A}{(x+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{(x+1)^2}[/mm] + [mm]\bruch{Cx+D}{(x^2+1)}[/mm]
>
> so was ich nicht verstehe:
> -das Cx+D, warum kommt da nicht nur C hin?
Im Prinzip kann man für die konjugiert komplexen Nullstellen
auch so ansetzen:
[mm]\bruch{C_{1}}{x+i}+\bruch{C_{2}}{x-i}[/mm]
Dabei muss man allerdings mit komplexen Zahlen rechnen können.
Um dies zu vermeiden, wird der folgende Ansatz verwendet:
[mm]\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}[/mm]
> -wie kommt es das in der Lösung jeweils einmal (x+1),
> [mm](x+1)^2[/mm] und [mm](x^2+1)[/mm] im nenner verwendet wird. ich habe
Hier wird die Vielfachheit der Nullstelle x=-1 berücksichtigt.
Für das quadratische Polynom im Nenner, kann im Zähler
höchstens ein Polynom 1. Grades stehen.
> gelernt das man dafür die nullstellen nimmt. in der
> lösung sind das ja auch die nullstellen aber wieso dann
> nicht so wie ich es gemacht habe?
Nach ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
ist der Ansatz wie dort beschrieben zu wählen.
>
> !!!!Danke!!!!!
Gruss
MathePower
|
|
|
|
