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Hi,
ich muss zu folgendem Integral eine Stammfunktion mittels partieller Integration bestimmen:
[mm] \begin{matrix}
\integral_{}^{}{e^xcosx } &=& cosx*e^x-\integral_{}^{}{-sinx*e^x} \\
\ &=& cosx*e^x+\integral_{}^{}{sinx*e^x} \\
\ &=& cosx*e^x+ \left(e^x*(-cosx)-\integral_{}^{}{e^x*(-cosx)}\right) \\
\ &=& cosx*e^x+ \left(-e^x*cosx+\integral_{}^{}{e^x*cosx}\right) \\
\ &=& cosx*e^x-e^x*cosx+\integral_{}^{}{e^x*cosx} \\
\end{matrix}
[/mm]
Ich kenne das Ergebnis, das lautet:
[mm] \bruch{1}{2}e^x(sinx+cosx)
[/mm]
Demnach habe ich oben irgendwo einen Fehler (Vorzeichen?!), den ich aber irgendwie nicht finde! :(
Würde mich freuen, wenn sich das jemand kurz anschauen könnte! :)
mfg, michael
ps.....das dx im Integral hab ich absichtlich aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen.
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Hallo Michael,
> Hi,
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> ich muss zu folgendem Integral eine Stammfunktion mittels
> partieller Integration bestimmen:
> [mm]\begin{matrix}
\integral_{}^{}{e^xcosx } &=& cosx*e^x-\integral_{}^{}{-sinx*e^x} \\
\ &=& cosx*e^x+\integral_{}^{}{sinx*e^x} \\
\ &=& cosx*e^x+ \left(e^x*(-cosx)-\integral_{}^{}{e^x*(-cosx)}\right) \\
\ &=& cosx*e^x+ \left(-e^x*cosx+\integral_{}^{}{e^x*cosx}\right) \\
\ &=& cosx*e^x-e^x*cosx+\integral_{}^{}{e^x*cosx} \\
\end{matrix}[/mm]
Wenn du das so als Matrix schreibst, kann man schlecht direkt an die entsprechende Stelle was schreiben ...
Nun, du hast die Rollen bei der zweiten partiellen Integration vertauscht.
Die Rechnung stimmt schon, aber mit der Aussage [mm] $\int{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \int{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx}$ [/mm] ist dir ja nicht geholfen.
Wenn du nach der 1.partiellen Integration, also an der Stelle
[mm] $\int{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\cos(x) [/mm] \ + \ [mm] \int{e^x\cdot{}\sin(x) \ dx}$
[/mm]
mal lieber [mm] $u'(x)=e^x$ [/mm] und [mm] $v(x)=\sin(x)$ [/mm] wählst, so erhältst du bei der erneuten part. Integr. rechterhand [mm] $-\int{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx}$, [/mm] das du dann auf die linke Seite der Gleichung bringen kannst und schließlich nach dem Integral [mm] $\int{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx}$ [/mm] auflösen kannst ...
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> Ich kenne das Ergebnis, das lautet:
>
> [mm]\bruch{1}{2}e^x(sinx+cosx)[/mm]
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> Demnach habe ich oben irgendwo einen Fehler (Vorzeichen?!),
> den ich aber irgendwie nicht finde! :(
>
> Würde mich freuen, wenn sich das jemand kurz anschauen
> könnte! :)
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> mfg, michael
>
> ps.....das dx im Integral hab ich absichtlich aus Gründen
> der Übersichtlichkeit weggelassen.
Gruß
schachuzipus
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