"Partielle Integration" < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich auf die partielle Integration, aber nicht für Riemann-Integrale, sonder Stieltjes-Integrale, egal erstmal ob L-S oder R-S.
Ich meine damit
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dg(x)} = f(x)g(x) |_a^b - \integral_{a}^{b}{g(x) df(x)}[/mm]
Wie beweist man diese Formel?
Im Riemann-Fall macht man das ja einfach über die Produktregel, aber dieses Konzept haben wir bei L-S oder R-S-Integralen nicht zur Verfügung.
Ich kann mit dieser Formel einigermaßen umgehen, eben mit der ehr unexakten Version mit
[mm]\frac{\mathrm{d} f(x)g(x)}{\mathrm{d} g(x)} = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} g(x)}*g(x) + \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} g(x)}*f(x) = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} g(x)}*g(x) + f(x) [/mm]
Kann man diese Gleichung irgendwie formal Beweisen?
Und wenn ich jetzt alles bzgl. g(x) integriere bekommt man ja mit
[mm]\int (\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} g(x)}*g(x)) \mathrm{d} g(x) = \int g(x) \mathrm{d} f(x)[/mm]
Eben wieder mehr intuitiv als mathematisch begründet bei mir...
Ich würd mich über eine mathematisch exakte Beweisidee sehr freuen!
Oder ein Link für ein Skript oder so, ich selber hab keins gefunden, und in den mir bekannten Lehrbüchern wie dem Klenke, Loeve und Shiryeav konnte ich leider keine Beweise finden...
Vielen Danke schonmal im Voraus!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:40 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau mal nach in
H.Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Satz 90.2
FRED
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Hey cool,
danke, genau sowas hab ich gesucht!
Aber dann hab ich jetzt das nächste Problem.
Ich hab gehofft ich hätte einen Denkfehler, aber wie es scheint nicht. Dann versteh ich ein Beispiel aus "Introduction in Stochastic Integration" von Kuo nicht so recht. Da steht:
[mm]\integral_{0}^{1}{B(t) dt} = B(t)(t-1)|_0^1 - \integral_{0}^{1}{(t-1) dB(t)}[/mm]
Dabei soll B(t) eine Brown'sche Bewegung sein.
Ich hätte anstatt dem (t-1) ein t erwartet.
Ich kann mir das Ergebnis aus dem Buch schön reden, indem ich
[mm]\integral_{0}^{1}{B(t) dt} -0 = \integral_{0}^{1}{B(t) dt} - \integral_{0}^{1}{B(t) d1} = \integral_{0}^{1}{B(t) d(t-1)} = B(t)(t-1)|_0^1 - \integral_{0}^{1}{(t-1) dB(t)}[/mm]
rechne, aber das finde ich ein wenig willkürlich... Weil ja für jede Konstante Funktion [mm] \alpha(t)=c [/mm] gelten müsste
[mm]\integral_{0}^{1}{B(t) d\alpha} = \integral_{0}^{1}{B(t) dc} = 0[/mm]
Und nur bei $c=1$ hat man wirklich eine Erleichterung der Gleichung...
Ich wäre über eine Bestätigung oder Korrektur sehr dankbar!
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mo 08.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kai!
> Aber dann hab ich jetzt das nächste Problem.
>
> Ich hab gehofft ich hätte einen Denkfehler, aber wie es
> scheint nicht. Dann versteh ich ein Beispiel aus
> "Introduction in Stochastic Integration" von Kuo nicht so
> recht. Da steht:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{B(t) dt} = B(t)(t-1)|_0^1 - \integral_{0}^{1}{(t-1) dB(t)}[/mm]
>
> Dabei soll B(t) eine Brown'sche Bewegung sein.
>
> Ich hätte anstatt dem (t-1) ein t erwartet.
Die Translationsinvarianz des Stieltjes-Integrals bzgl g:
[mm]\integral fdg = \integral f d(g+c) [/mm]
für beliebige Konstanten c folgt unmittelbar aus der Definition. Damit ist
[mm]\integral_{0}^{1}{B(t) dt} = \integral_{0}^{1}{B(t) d(t-1)} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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