Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Für m,n [mm] \in [/mm] N berechnen Sie: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx} [/mm] |
Hallo,
wollte grad noch diese Aufgabe rechnen, komm aber nich weiter. Also ich weiß, dass man da partielle Integration machen muss, dann würde ich v=cos(mx) und u'=cos(nx) wählen. Bin mir aber jetzt ein bisschen unsicher, also v'=-m*sin(mx) und was ist dann u?
Danke schon mal im Voraus
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mi 26.01.2011 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Für m,n [mm]\in[/mm] N berechnen Sie:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}[/mm]
> Hallo,
> wollte grad noch diese Aufgabe rechnen, komm aber nich
> weiter. Also ich weiß, dass man da partielle Integration
> machen muss, dann würde ich v=cos(mx) und u'=cos(nx)
> wählen. Bin mir aber jetzt ein bisschen unsicher, also
> v'=-m*sin(mx) und was ist dann u?
u ist dann die Stammfunktion von [mm] $\cos(nx)$ [/mm]
Die Stammfunktion des [mm] $\cos$ [/mm] ist ja [mm] $\sin$, [/mm] wenn man aber [mm] $\sin(nx)$ [/mm] ableitet bekommt man [mm] $n\cdot\sin(nx)$, [/mm] also musst Du noch durch n teilen:
[mm] $\int\cos(nx)=\frac{1}{n}\sin(nx)$
[/mm]
> Danke schon mal im Voraus
> Gruß David
Gruß,
notinX
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:16 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
ok alles klar, dann hab ich jetz die partielle integration angwandt und zwar mit v=cos(mx), v'=-sin(mx)*m und u'=cos(nx), [mm] u=\bruch{1}{n}*sin(nx) [/mm] dann steht da: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}sin(nx)*cos(mx)- \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{n}*sin(nx)*-msin(mx) dx} [/mm] so von dem rechten integral muss ich jetz nochmal eine partielle integration machen und dann komm ich zum ende auf [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}. [/mm] Also irgendwie bringt mir das nix :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
Wie sieht denn Deine Wahl von v' und u bei der zweiten partiellen Integration aus?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
also bei der zweiten partiellen integration hab ich v=1/n*sin(nx), v'=cos(nx) und u'=.m*sin(mx), u=cos(mx) gewählt :) meinste die wahl war falsch?
Gruß david
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 26.01.2011 | | Autor: | notinX |
> also bei der zweiten partiellen integration hab ich
> v=1/n*sin(nx), v'=cos(nx) und u'=.m*sin(mx), u=cos(mx)
> gewählt :) meinste die wahl war falsch?
Also die Integration war auf jeden Fall falsch, da fehlt ein Minus ;)
> Gruß david
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
achso ja da steht natürlich u'=-m*sin(mx) aber da kommt für u trotzdem cos(mx) raus :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
kann ja nich sein, dass auf beiden seiten dasselbe steht oder?
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Hallo David,
> kann ja nich sein, dass auf beiden seiten dasselbe steht
> oder?
Es kann schon sein, dann wäre die partielle Integration eben nicht die geeignete Methode, oder Du hättest die beiden Funktionen nicht geschickt gewählt.
In diesem Fall aber tritt das Problem eigentlich nicht auf.
Solange Du nur Ergebnisse mitteilst, aber keinen Rechenweg vorführst, werden wir den Fehler nicht finden können.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
ok ok alles klaar dann fass ich jetz nochmal schnell alles zusammen: ich hab eine partielle integration von [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx} [/mm] gemacht, dabei hab ich v=cos(mx), v'=-m*sin(mx) und u'=cos(nx), [mm] u=\bruch{1}{n}*sin(nx) [/mm] gewählt und es kam folgendes raus: [mm] \bruch{1}{n}*sin(nx)*cos(mx)-\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{n}*sin(nx)* -m*sin(mx) dx}. [/mm] so und jetzt mach ich eine zweite partielle integration vom letzten integral und habe [mm] v=\bruch{1}{n}*sin(nx), [/mm] v'=cos(nx) und u'=-m*sin(mx), u=cos(mx) gewählt. das heißt bei der zweiten integration steht: [mm] cos(mx)*\bruch{1}{n}*sin(nx)- \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}. [/mm] zusammengefasst steht da: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}= \bruch{1}{n}*sin(nx)*cos(mx)-cos(mx)*\bruch{1}{n}*sin(nx)+ \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx} [/mm] und das ist letztendlich [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}. [/mm] macht also die partielle integration keinen sinn oder hab ich u und v falsch gewählt?:O
Gruß david
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Hallo
du hast zwei Vorzeichenfehler
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}= \bruch{1}{n}\cdot{}sin(nx)\cdot{}cos(mx) [/mm] - [mm] cos(mx)\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}sin(nx) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}
[/mm]
du kannst doch den Faktor (-1) aus dem Integral ziehen, so steht nach der 1. partiellen Integration
[mm] \bruch{1}{n}\cdot{}sin(nx)\cdot{}cos(mx)+\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{n}\cdot{}sin(nx)\cdot{}m\cdot{}sin(mx) dx}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 27.01.2011 | | Autor: | David90 |
ja stimmt das erste minus ist richtig^^ aber das zweite nich, würd ich sagen, weil da folgendes nach der ersten partiellen integration steht(wie du oben schon geschrieben hast): [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}= \bruch{1}{n}*sin(nx)cos(mx)+\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{n}*sin(nx)*m*sin(mx) dx} [/mm] so jetzt mach ich eine zweite partielle integration und wähle: [mm] v=\bruch{1}{n}*sin(nx), [/mm] v'=cos(nx) und u'=m*sin(mx), u=-cos(mx). letztendlich steht da [mm] \bruch{1}{n}*sin(nx)cos(mx)-cos(mx)*\bruch{1}{n}*sin(nx)-\integral_{0}^{2\pi}{-cos(mx)cos(nx) dx} [/mm] und das ist letztendlich: [mm] \bruch{1}{n}*sin(nx)cos(mx)-cos(mx)*\bruch{1}{n}*sin(nx)+\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx} [/mm] oder seh ich das falsch?:O
gruß david
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:39 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Ixion |
Bei der Aufgabe mit einer partiellen Integration zu arbeiten bringt nicht viel.
Du solltest viel eher mit der Identität cos(n*x) * cos (m*x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (cos( n*x - m*x ) + cos( n*x + m*x )) arbeiten und wirst schnell zu einem nicht sehr verblüffenden Ergebnis kommen.
MFG Philipp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Fr 28.01.2011 | | Autor: | David90 |
Also du meinst davon dann eine Stammfunktion bilden? Dann würd ich auf [mm] -\bruch{1}{2*m*n}*sin(nx-mx)+\bruch{1}{n*m}*sin(mx+nx) [/mm] kommen :O
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Hallo David90,
> Also du meinst davon dann eine Stammfunktion bilden? Dann
> würd ich auf
> [mm]-\bruch{1}{2*m*n}*sin(nx-mx)+\bruch{1}{n*m}*sin(mx+nx)[/mm]
> kommen :O
Das stimmt nicht:
[mm]\bruch{1}{2*\left(n\blue{-}m\right)}*sin(nx-mx)+\bruch{1}{\red{2}*\left(n\blue{+
}m\right)}*sin(mx+nx)[/mm]
Dies gilt nur für den Fall [mm]n \not= m[/mm]
Der Fal n=m ist noch gesondert zu behandeln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 28.01.2011 | | Autor: | David90 |
Ja ich denke schon das gilt n [mm] \not= [/mm] m . Nagut dann würd ich sagen einfach mal die Grenzen da einsetzen in die Stammfunktion:) Was passiert denn wenn man bei sin(nx-mx) für [mm] x=2\pi [/mm] einsetzt? [mm] sin(2\pi)=0, [/mm] also fallen dann einfach die x weg im sinus, also sin(n-m)?
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Hallo David90,
> Ja ich denke schon das gilt n [mm]\not=[/mm] m . Nagut dann würd
> ich sagen einfach mal die Grenzen da einsetzen in die
> Stammfunktion:) Was passiert denn wenn man bei sin(nx-mx)
> für [mm]x=2\pi[/mm] einsetzt? [mm]sin(2\pi)=0,[/mm] also fallen dann einfach
> die x weg im sinus, also sin(n-m)?
Nein, das musst Du schon als Ganzes sehen:
[mm]\sin\left(\ \left(n-m\right)*2\pi\right)= \ ...[/mm]
[mm]\sin\left(\ \left(n+m\right)*2\pi\right)= \ ...[/mm]
[mm]\sin\left(\ \left(n-m\right)*0)= \ ...[/mm]
[mm]\sin\left(\ \left(n+m\right)*0\right)= \ ...[/mm]
Demnach ist der Wert des Integrals für [mm]n \not= m[/mm]: ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Fr 28.01.2011 | | Autor: | David90 |
Ok alles klar, ich würde sagen, dadurch, dass die untere Grenze 0 ist, fällt der komplette Bereich, wo man die 0 einsetzen muss weg und dann steht nur noch da: [mm] \bruch{1}{2(n-m)}sin((n-m)2\pi)+\bruch{1}{2(n+m)}sin((n+m)2\pi) [/mm] :) Richtig so?^^
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Hallo David90,
> Ok alles klar, ich würde sagen, dadurch, dass die untere
> Grenze 0 ist, fällt der komplette Bereich, wo man die 0
Schau Dir mal diejenigen Werte an, an denen der Sinus den Wert 0 annimmt.
> einsetzen muss weg und dann steht nur noch da:
> [mm]\bruch{1}{2(n-m)}sin((n-m)2\pi)+\bruch{1}{2(n+m)}sin((n+m)2\pi)[/mm]
> :) Richtig so?^^
Auch den Wert dieses Ausdruckes kannst Du sofort angeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 28.01.2011 | | Autor: | David90 |
Naja sin wir für alle [mm] 2k\pi [/mm] 0. Meinst du ich muss im zweiten Teil m und n so wählen dass am ende [mm] sin(2k\pi) [/mm] da steht?
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Hallo David90,
> Naja sin wir für alle [mm]2k\pi[/mm] 0. Meinst du ich muss im
> zweiten Teil m und n so wählen dass am ende [mm]sin(2k\pi)[/mm] da
> steht?
Nein, n und m sind doch schon als natürliche Zahlen festgelegt.
Damit sind n-m und n+m im Bereich der ganzen Zahlen.
Und der Wert des Sinus an allen ganzzahligen Vielfachen von [mm]\pi[/mm] ist 0
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Fr 28.01.2011 | | Autor: | David90 |
Achso du meinst, dass [mm] sin((n-m)2\pi) [/mm] und [mm] sin((n+m)2\pi) [/mm] gleich 0 werden oder was?^^ aber dann kommt ja 0 raus :O
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Hallo David90,
> Achso du meinst, dass [mm]sin((n-m)2\pi)[/mm] und [mm]sin((n+m)2\pi)[/mm]
> gleich 0 werden oder was?^^ aber dann kommt ja 0 raus :O
Genau das meinte ich.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 28.01.2011 | | Autor: | David90 |
Achso alles klar, dann halt 0^^ Danke für deine Geduld xD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Do 27.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> > Für m,n [mm]\in[/mm] N berechnen Sie:
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx) dx}[/mm]
> > Hallo,
> > wollte grad noch diese Aufgabe rechnen, komm aber nich
> > weiter. Also ich weiß, dass man da partielle Integration
> > machen muss, dann würde ich v=cos(mx) und u'=cos(nx)
> > wählen. Bin mir aber jetzt ein bisschen unsicher, also
> > v'=-m*sin(mx) und was ist dann u?
>
> u ist dann die Stammfunktion von [mm]\cos(nx)[/mm]
bitte gewöhne Dir ab, von DER Stammfunktion zu sprechen. Spreche entweder von einem Vertreter der Klasse der Stammfunktionen, oder aber spreche von EINER Stammfunktion. Denn wenn [mm] $f\,$ [/mm] gegeben und [mm] $F\,$ [/mm] gefunden mit [mm] $F'=f\,,$ [/mm] so ist zwar [mm] $F\,$ [/mm] EINE Stammfunktion von [mm] $f\,,$ [/mm] aber eben nicht die einzige. Jede andere Funktion $G:=F+C$ mit einer Konstanten (=konstante Funktion) ist auch eine Stammfunktion für [mm] $f\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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