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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{xsin(3x) dx} [/mm] |
Hallo,
Brauche ein wenig Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß das diese Aufgabe in der Tabelle der Integrale steht, ich will sie als Übung jedoch trotzdem Schritt für Schritt lösen.
Zerlegung:
[mm] \integral_{}^{}{xsin(3x) dx} [/mm] = [mm] sin(3x)\bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{cos(3x)\bruch{1}{2}x^2 dx}
[/mm]
also
v'=x , v= [mm] \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
u=sin(3x)
u'= cos(3x)
Weiter mit
[mm] \integral_{}^{}{cos(3x)\bruch{1}{2}x^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^2 \bruch{1}{3}sin(3x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\integral_{}^{}{xsin(3x) dx} [/mm]
Und ab da hab ich dann keine Ahnung mehr.
Danke für jede Hilfe schonmal.
Mfg,
Unkreativ
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> [mm]\integral_{}^{}{xsin(3x) dx}[/mm]
> Hallo,
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> Brauche ein wenig Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß das
> diese Aufgabe in der Tabelle der Integrale steht, ich will
> sie als Übung jedoch trotzdem Schritt für Schritt
> lösen.
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> Zerlegung:
> [mm]\integral_{}^{}{xsin(3x) dx}[/mm] = [mm]sin(3x)\bruch{1}{2}x^2[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{cos(3x)\bruch{1}{2}x^2 dx}[/mm]
>
> also
> v'=x , v= [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm]
> u=sin(3x)
> u'= cos(3x)
>
> Weiter mit
> [mm]\integral_{}^{}{cos(3x)\bruch{1}{2}x^2 dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}x^2 \bruch{1}{3}sin(3x)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{3}\integral_{}^{}{xsin(3x) dx}[/mm]
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> Und ab da hab ich dann keine Ahnung mehr.
>
> Danke für jede Hilfe schonmal.
>
> Mfg,
> Unkreativ
Diese Schritte sind unnötig, weil du es hier mit dem Sonderfall [mm] $xsin(\beta [/mm] x)$ zu tun hast. Wähle also $v'$ nicht als $ x$ sondern als [mm] $sin(\beta [/mm] x)$. Warum? Weil du x doch ganz offensichtlich ableiten und nicht integrieren willst! Der Trick der partiellen Int. besteht doch darin, etwas unliebsames durch Ableiten in etwas Liebsameres zu verwandeln, und [mm] $1\cdot sin(\beta [/mm] x)$ ist doch viel besser als $x [mm] sin(\beta [/mm] x)$, oder? ;) Deine Variante geht natürlich auch, aber nur mit 2 maliger Int.
Generell: Schwierigere trigonometrische Integrale löst man immer mit zweifacher partieller Integration. Schau deine GLeichung mal scharf an! Was steht denn am Ende? Vielleicht das Integral, was du berechnen willst? Ahhh ;) Das ist der TRick. Da trigonometrische Funtkionen durch zweimaliges Ableiten wieder bis auf das Vorzeichen in ihre Ausgangsfunktion übergehen, kannst du dass dabei entstehende Integral (beim zweiten Schritt) auf die linke Seite der Gleichung bringen, du hast dann 2 mal das Ausgangsintegral, also ist das Integral, bzw. dessen Lösung, die rechte Seite, geteilt durch zwei. Falls unklar, nochmal nachfragen! ;)
EDIT: Du hast aber auch so bei deiner Ableitung des sin(3x) im ersten Schritt die innere Ableitung 3 vergessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Do 08.12.2011 | | Autor: | Unkreativ |
Ja macht Sinn *schäm*
Ok dann also:
$ [mm] \integral_{}^{}{xsin(3x) dx} [/mm] $ = [mm] x(-\bruch{1}{3}cos(3x) [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{3}cos(3x) dx}
[/mm]
=> [mm] -\bruch{x}{3} [/mm] cos (3x) + [mm] \bruch{1}{3} \integral_{}^{}{cos(3x) dx} [/mm]
= [mm] -\bruch{x}{3} [/mm] cos (3x) + [mm] \bruch{1}{3}(\bruch{1}{3} [/mm] sin (3x) )
Passt, Dankeschön :)
Die Formeln für Integration sin/cos(ax) standen falsch in meiner Formelsammlung :/
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