Partielle Integration/Substitu < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Di 02.11.2010 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Unbestimmte Integral von [mm]f(x)=sin(x)*cos(x)^4 dx[/mm] |
Hallo, ich habe mal eine Frage zur obigen Aufgabe:
Löse ich diese Gleichung mit der Partiellen Integration oder muss ich hier anders vorgehen?
Irgendwie wird bei der Partiellen Integration mein f(x) nur komplizierter statt einfacher.Ich habe auch mal was von Integration durch Substitution gehört, dies haben wir aber noch nie behandelt, weshalb ich hier die Partielle Variante versucht habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Di 02.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich kann nicht ausschließen, dass es auch mit partieller Integration klappen würde, aber hier ist die Substitution eine große Hilfe.
Die Formel lautet ja so:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))g'(x) dx}=\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}
[/mm]
Jetzt musst du gucken: Was ist hier bei dir f und was ist g?
Tipp: Schreibe sin(x) als -(-sin(x)) und ziehe dann ein - aus dem Integral.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 02.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Mhh irgendwie will das nicht an mich rantreten.
Also ich habe folgende Formel gefunden:
[mm] \integral_{a}^{b}{g\left\{ h(x) \right\}}*\bruch{h'(x)}{\alpha} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\alpha}\integral_{a}^{b}{g(z) dz}
[/mm]
für [mm] z = h(x)[/mm]
Ok [mm] z=sin(x) [/mm] dann ist [mm]z'=-cos(x)[/mm]
[mm]z' = \bruch{dz}{dx} \Rightarrow \bruch{dz}{dx} = -cos(x) \Rightarrow dx=\bruch{dz}{-cos(x)}[/mm]
[mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)*cos(x)^4 dx} = \integral_{a}^{b}{z*cos(x)^4*\bruch{dz}{-cos(x)}} = -\integral_{a}^{b}{z*cos(x)^3}[/mm]
So jetzt müsste ich aber doch immer noch das Integral von [mm] cos(x)^3 [/mm] lösen was man ja net so einfach mal eben hinschreiben kann.
Habe hätte ich vielleiht [mm] cos(x)^4 =z[/mm] setzen müssen? Wenn ja würde ich aber doch als [mm]z'=-4sin(x)*cos(x)[/mm]bekommen das bringt mich doch auch nicht wirklich weiter oder
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Hallo Vertax,
> Mhh irgendwie will das nicht an mich rantreten.
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> Also ich habe folgende Formel gefunden:
> [mm]\integral_{a}^{b}{g\left\{ h(x) \right\}}*\bruch{h'(x)}{\alpha}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\alpha}\integral_{a}^{b}{g(z) dz}[/mm]
>
> für [mm]z = h(x)[/mm]
>
> Ok [mm]z=sin(x)[/mm] dann ist [mm]z'=-cos(x)[/mm]
>
> [mm]z' = \bruch{dz}{dx} \Rightarrow \bruch{dz}{dx} = -cos(x) \Rightarrow dx=\bruch{dz}{-cos(x)}[/mm]
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> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)*cos(x)^4 dx} = \integral_{a}^{b}{z*cos(x)^4*\bruch{dz}{-cos(x)}} = -\integral_{a}^{b}{z*cos(x)^3}[/mm]
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> So jetzt müsste ich aber doch immer noch das Integral von
> [mm]cos(x)^3[/mm] lösen was man ja net so einfach mal eben
> hinschreiben kann.
>
> Habe hätte ich vielleiht [mm]cos(x)^4 =z[/mm] setzen müssen? Wenn
> ja würde ich aber doch als [mm]z'=-4sin(x)*cos(x)[/mm]bekommen das
> bringt mich doch auch nicht wirklich weiter oder
>
Das bringt Dich hier nicht wirklich weiter.
Besser ist da die Substitution [mm]z=\cos\left(x\right)[/mm].
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Di 02.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Danke das hat mir geholfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Di 02.11.2010 | | Autor: | glie |
> Bestimmen Sie das Unbestimmte Integral von
> [mm]f(x)=sin(x)*cos(x)^4 dx[/mm]
> Hallo, ich habe mal eine Frage zur
> obigen Aufgabe:
> Löse ich diese Gleichung mit der Partiellen Integration
> oder muss ich hier anders vorgehen?
Hallo,
also ich hätte da schon noch einen Vorschlag. Man kann ja auch einfach etwas über die Ableitungsregeln nachdenken, insbesondere über die Kettenregel.
Ich bilde doch einfach mal die Ableitung von [mm] $(\cos(x))^5$, [/mm] da erhalte ich:
$5 [mm] \cdot (\cos(x))^4 \cdot (-\sin(x))=-5 \sin(x) \cdot (\cos(x))^4$
[/mm]
Das sieht doch bis auf den Faktor -5 schon richtig gut aus.
Dann ist:
[mm] \integral \sin(x) \cdot (\cos(x))^4 dx=-\bruch{1}{5} \cdot (\cos(x))^5 [/mm] +c
Gruß Glie
>
> Irgendwie wird bei der Partiellen Integration mein f(x) nur
> komplizierter statt einfacher.Ich habe auch mal was von
> Integration durch Substitution gehört, dies haben wir aber
> noch nie behandelt, weshalb ich hier die Partielle Variante
> versucht habe.
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