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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Differentialgleichung
y'' - 2y' + 5y = [mm] 2e^xsin^2(x)
[/mm]
a) Bestimmen Sie die allgemeine homogene Lösung der Differentialgleichung.
b) Geben Sie den [u]Ansatz[/] für eine partikuläre Lösung an.
[b]Hinweis.[/] cos(2x) = 1 - [mm] 2sin^2(x) [/mm] |
a) homogene Lösung ist erledigt.
lambda = 1 +- 2i
yh = [mm] e^x [/mm] ( A cos(2x) + B sin(2x) )
An b) scheitert es bei mir.
Morgen ist Klausur, ich hoffe jemand kann mir das heute noch etwas verständlicher machen, wie genau ich hier vorgehen soll.
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Hallo Pingumane,
> Gegeben sei folgende Differentialgleichung
>
> y'' - 2y' + 5y = [mm]2e^xsin^2(x)[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die allgemeine homogene Lösung der
> Differentialgleichung.
>
> b) Geben Sie den Ansatz[/] für eine partikuläre Lösung
> an.
> Hinweis.[/] cos(2x) = 1 - [mm]2sin^2(x)[/mm]
> a) homogene Lösung ist erledigt.
>
> lambda = 1 +- 2i
>
> yh = [mm]e^x[/mm] ( A cos(2x) + B sin(2x) )
>
> An b) scheitert es bei mir.
>
> Morgen ist Klausur, ich hoffe jemand kann mir das heute
> noch etwas verständlicher machen, wie genau ich hier
> vorgehen soll.
Schreibe erstmal die Störfunktion (rechte Seite der DGL)
gemäß dem Hinweis um.
Dann musst Du den Ansatz für die partikuläre Lösung,
falls ein Teil der Störfunktion eine Lösung
der homogenen DGL ist, aber nur diesen Teil,
mit "x" multiplizieren.
Gruss
MathePower
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Alles klar, dann fangen wir mal an:
cos(2x) = 1 - [mm] 2sin^2(x)
[/mm]
[mm] 2sin^2(x) [/mm] = 1 - cos(2x)
Störfunktion lautet:
[mm] 2e^xsin^2(x) [/mm] bzw [mm] e^x2sin^2(x)
[/mm]
Umformung eingesetzt:
[mm] e^x(1-cos(2x))
[/mm]
Nochmal die homogene Lösung:
yh = [mm] e^x(A [/mm] cos(2x) + B sind (2x) )
Falls ich das richtig verstanden habe, multipliziere ich nun [mm] e^x [/mm] mit x, da dieser Term in beiden Lösungen vorhanden ist.
Das Ergebnis wäre demnach:
[mm] xe^x(1-cos(2x))
[/mm]
Aber das haut irgendwie nicht so recht hin. Wo bin ich dieses mal steckengeblieben?
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Hallo Pingumane,
> Alles klar, dann fangen wir mal an:
>
> cos(2x) = 1 - [mm]2sin^2(x)[/mm]
>
> [mm]2sin^2(x)[/mm] = 1 - cos(2x)
>
> Störfunktion lautet:
> [mm]2e^xsin^2(x)[/mm] bzw [mm]e^x2sin^2(x)[/mm]
>
> Umformung eingesetzt:
> [mm]e^x(1-cos(2x))[/mm]
>
> Nochmal die homogene Lösung:
> yh = [mm]e^x(A[/mm] cos(2x) + B sind (2x) )
>
> Falls ich das richtig verstanden habe, multipliziere ich
> nun [mm]e^x[/mm] mit x, da dieser Term in beiden Lösungen vorhanden
> ist.
> Das Ergebnis wäre demnach:
> [mm]xe^x(1-cos(2x))[/mm]
>
Nun, [mm]e^{x}[/mm] ist keine Lösung der homogenen DGL.
Daher lautet hier der Ansatz: [mm]C*e^{x}[/mm]
Hingegen ist [mm]-e^{x}*\cos\left(2*x\right)[/mm] eine
Lösung der homogenen DGL. Daher lautet hier der Ansatz:
[mm]\blue{x}*e^{x}*\left( \ A*\cos\left(2*x\right)+B*\sin\left(2*x\right) \ \right)[/mm]
Jetzt fügen wir die Ansätze zusammen,
dann lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm]y_{p}\left(x\right) = C*e^{x}+\blue{x}*e^{x}*\left( \ A*\cos\left(2*x\right)+B*\sin\left(2*x\right) \ \right)[/mm]
> Aber das haut irgendwie nicht so recht hin. Wo bin ich
> dieses mal steckengeblieben?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 So 29.06.2014 | | Autor: | Pingumane |
Vielen lieben Dank für die hilfreiche Erklärung. Das Prinzip wurde verstanden und wird morgen hoffentlich auch erfolgreich umgesetzt :)
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:47 So 29.06.2014 | | Autor: | rmix22 |
> dann lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:
>
> [mm]y_{p}\left(x\right) = C*e^{x}+\blue{x}*e^{x}*\left( \ A*\cos\left(2*x\right)+B*\sin\left(2*x\right) \ \right)[/mm]
EDIT: Und das ist auch vollkommen richtig. Meine nachstehenden ursprünglichen Anmerkungen sind Unfug - bitte dieselben zu ignorieren.
[Unfug]
Leider ist dieser Ansatz unvollständig und führt nicht auf eine korrekte Partikulärlösung. So einfach ist das mit dem "Multiplizieren mit x" bei Nicht-Linearkombinationen leider doch nicht. Der Ansatz muss auch noch den additiven Term [mm]e^{x}*\left( \ D*\cos\left(2*x\right)+E*\sin\left(2*x\right) \ \right)[/mm] beinhalten.
[/Unfug]
Die Gesamtlösung (yh + yp) ergibt sich letztendlich mit
[mm]y\left(x\right) = e^{x}*\left(C_{1}*cos(2x)+C_{2}*sin(2x)\right)+\bruch{1}{4}*e^{x}\red{-\bruch{1}{4}*e^{x}*cos(2x)}-\bruch{1}{4}*x*e^x*sin(2x)[/mm]
EDIT: Das stimmt zwar, aber natürlich kann man den roten Term auch weglassen, denn er ist in der voranstehenden Lösung der homogenen DGL ja ohnedies enthalten
oder
[mm]y\left(x\right) = e^{x}*\left(C_{1}*cos(2x)+C_{2}*sin(2x)\right)+\bruch{1}{2}*e^{x}*sin^2x-\bruch{1}{4}*x*e^x*sin(2x)[/mm]
Gruß
RM
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 21:19 So 29.06.2014 | | Autor: | MathePower |
Hallo rmix22,
> > dann lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:
> >
> > [mm]y_{p}\left(x\right) = C*e^{x}+\blue{x}*e^{x}*\left( \ A*\cos\left(2*x\right)+B*\sin\left(2*x\right) \ \right)[/mm]
>
> Leider ist dieser Ansatz unvollständig und führt nicht
> auf eine korrekte Partikulärlösung. So einfach ist das
> mit dem "Multiplizieren mit x" bei
> Nicht-Linearkombinationen leider doch nicht. Der Ansatz
> muss auch noch den additiven Term [mm]e^{x}*\left( \ D*\cos\left(2*x\right)+E*\sin\left(2*x\right) \ \right)[/mm]
> beinhalten.
Nein, denn dieser ist Lösung der homogenen DGL.
Setze ich diesen "korrigierten" Ansatz in die DGL ein,
so liefert das:
[mm]\[4\,{e}^{x}\,C+4\,{e}^{x}\,\mathrm{cos}\left( 2\,x\right) \,B-4\,{e}^{x}\,\mathrm{sin}\left( 2\,x\right) \,A={e}^{x}-{e}^{x}\,\mathrm{cos}\left( 2\,x\right) \][/mm]
Wo sind hier die Konstanten D und E?
> Die Gesamtlösung (yh + yp) ergibt sich letztendlich mit
> [mm]y\left(x\right) = e^{x}*\left(C_{1}*cos(2x)+C_{2}*sin(2x)\right)+\bruch{1}{4}*e^{x}\red{-\bruch{1}{4}*e^{x}*cos(2x)}-\bruch{1}{4}*x*e^x*sin(2x)[/mm]
>
> oder
> [mm]y\left(x\right) = e^{x}*\left(C_{1}*cos(2x)+C_{2}*sin(2x)\right)+\bruch{1}{2}*e^{x}*sin^2x-\bruch{1}{4}*x*e^x*sin(2x)[/mm]
>
> Gruß
> RM
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:37 So 29.06.2014 | | Autor: | rmix22 |
Oh Gott ja! Peinlich!
Du hast natürlich Recht. Der von mir markierte Term ist ja natürlich in [mm] y_h [/mm] schon enthalten.
Sorry!
Wie wird das hier gehandhabt? Kann/soll ich mein falsches Posting löschen (so das überhaupt hier möglich ist) um den OP und Mitleser nicht unnötig in die Irre zu führen oder wird das als Threadverfälschung angesehen?
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