Partikulärer Ansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:46 Do 21.11.2013 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | Ermittel die allgeimne Lösung der folgenden Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstantem Koeffizienten
[mm] y''-y=xe^x+e^{2x} [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider nicht wie ich hier die partikuläre Lösung ermittle. das Problem sind die beiden Terme rechts der Gleichung.
ich fang mal an mit mein Rechenweg:
also meine homogene Lösung ist:
[mm] yh=C1*e^x+C2*e^{-x}
[/mm]
Partikuläre Lösung:
also [mm] \alpha=2 \not=\lambda1 \not= \lambda2
[/mm]
[mm] \alpha=2 [/mm] ist der höchste Exponent von der Störfunktion.
mein Ansatz wäre demnach:
[mm] yp=A*e^{2x}
[/mm]
Ich weiß auch wie es grundsätzlich weiter geht, nur meine ich das dieser Ansatz falsch ist.
Wie gehe ich also beim Ansatz mit: [mm] xe^x+e^{2x} [/mm] um ?
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Hallo,
deine Störfunktion ist die Summe zweier Summanden. Wähle daher den folgenden Ansatz:
[mm] y_p=Ae^x+Bxe^x+Cx^2e^x+De^{2x}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Do 21.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Ich komme da nicht ganz hinter.
ich habe hier folgende Formeln liegen:
[mm] f(x)=e^{\alpha*x}*P_{n}(x)=e^{\alpha*x}(A_{0}+A_{1}*x+...+A_{n}x^{n})
[/mm]
wobei ich davon ausgehe das "n" der jeweilige Exponent des Summanden in der Störfunktion ist.
[mm] y_{p}=\begin{cases} 1) e^{\alpha*x}(C_{0}+C_{1}*x+...+C_{n}x^{n})
\Rightarrow wenn.(\alpha). keine. Loesung .der. char. Gleichung. ist
\\
2)x^{m}*e^{\alpha*x}(C_{0}+C_{1}*x+...+C_{n}x^{n})
\Rightarrow wenn. (\alpha) . eine .(m-fache). Loesung .der. char. Gleichung. ist
\end{cases}
[/mm]
Aber ich komme damit nicht wirklich zurecht. Auch beim Versuch jetzt deine Lösung zu bekommen, scheiter ich.
Das soll aus der Vorlesung sein.
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Hallo,
> Ich komme da nicht ganz hinter.
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> ich habe hier folgende Formeln liegen:
>
> [mm]f(x)=e^{\alpha*x}*P_{n}(x)=e^{\alpha*x}(A_{0}+A_{1}*x+...+A_{n}x^{n})[/mm]
> wobei ich davon ausgehe das "n" der jeweilige Exponent des
> Summanden in der Störfunktion ist.
>
> [mm]y_{p}=\begin{cases} 1) e^{\alpha*x}(C_{0}+C_{1}*x+...+C_{n}x^{n})
\Rightarrow wenn.(\alpha). keine. Loesung .der. char. Gleichung. ist
\\
2)x^{m}*e^{\alpha*x}(C_{0}+C_{1}*x+...+C_{n}x^{n})
\Rightarrow wenn. (\alpha) . eine .(m-fache). Loesung .der. char. Gleichung. ist
\end{cases}[/mm]
>
> Aber ich komme damit nicht wirklich zurecht. Auch beim
> Versuch jetzt deine Lösung zu bekommen, scheiter ich.
Das Dumme ist: diese Formeln decken den bei dir vorliegenden Fall nicht ab, da deine beiden Exponentialfunktionen unterschiedliche Expoinenten haben.
Was ich nicht so ganz verstehe, ist, dass du einen zielführenden Tipp bereits bekommen hat, weshalb aber versuchst du nicht, diesen umzusetzen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Do 21.11.2013 | | Autor: | arti8 |
weil wissen möchte wie ich den gebildet bekomme, am besten mit den mir vorliegenden Formeln. weil mehr habe ich nicht.
Also:
der erst term hat [mm] \alpha [/mm] = 1 =n und der zweite hat [mm] \alpha [/mm] = 2 = n richtig ?
also da:
[mm] x*e^x [/mm] da [mm] \lambda_1=\alpha_1=1 [/mm] ist. Ist [mm] \alpha [/mm] hier ein m-faches Lösung der charakterlichen Gleichung
daher die Formel:
[mm] 2)x^{m}\cdot{}e^{\alpha\cdot{}x}(C_{0}+C_{1}\cdot{}x+...+C_{n}x^{n}) \Rightarrow [/mm] wenn. [mm] (\alpha) [/mm] . eine .(m-fache). Loesung .der. char. Gleichung
Also würde ich für den ersten Term:
[mm] x^{1}*e^{1\cdot{}x}(A_{}+B_{x})
[/mm]
und beim zweiten ist keine char. Lösung also dann diese Formel:
[mm] e^{\alpha\cdot{}x}(C_{0}+C_{1}\cdot{}x+...+C_{n}x^{n}) \Rightarrow wenn.(\alpha). [/mm] keine. Loesung .der. char. Gleichung. ist
dann ware der zweite Term:
[mm] \alpha_2=2=n \not=\lambda_1\not=\lambda_2
[/mm]
[mm] e^{2\cdot{}x}(C_{}+D\cdot{}x+E*x^{2}) \Rightarrow wenn.(\alpha). [/mm] keine. Loesung .der. char. Gleichung. ist
und nun beide Ergebnisse zusammen addieren. so hab ich es mir jetzt gedacht. Und das ist komplett verkehrt oder wie ?
Ich möchte einfach wissen wie ich die Ansätze bilde. das ist grade mein großes Problem das mir soviel Zeit kostet.
Habe auch viel im Internet geschaut und auch Tabellen gefunden, die zum Ansatz bilden da sind. Es stellt jetzt nur ein Problem dar das es 2 Terme gibt. Ich weiß einfach nicht wie ich damit umgehen soll. Einfach jeden Term einzeln betrachten und dann addieren ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Deine inhomogene Gleichung ist von der Form
(*) $ [mm] y''-y=s_1(x)+s_2(x) [/mm] $
Nun betrachte die beiden Gleichungen
(1) $ [mm] y''-y=s_1(x)$
[/mm]
und
(2) $ [mm] y''-y=s_2(x)$
[/mm]
Ist [mm] y_{p_1} [/mm] eine spezielle Lösung von (1) und ist [mm] y_{p_2} [/mm] eine spezielle Lösung von (2), so ist
[mm] y_{p_1}+y_{p_2}
[/mm]
eine spezielle Lösung von (*)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Do 21.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Ok. Ich hab jetzt anhand der Tabellen aus dem Internet versucht die Aufgabe zu lösen.
Fast alles richtig, vielleicht habe ich mich auf dem Weg zur Lösungs verechnet.
Aber jetzt nochmal:
Also ich habe 2 Summanden.
a) 1. [mm] Summand(x*e^x)= \alpha=1=\lambda_1\not=\lambda_2 [/mm] (einfache Lösung der char. Gleichung)
b) 2. [mm] Summand(e^{2x})= \alpha=2\not=\lambda_1\not=\lambda_2 [/mm] (keine Lösung der char. Gleichung)
Ansatz:
a) [mm] Ax*e^x=y_{p1}(x)
[/mm]
b) [mm] B*e^{2x}=y_{p2}(x)
[/mm]
[mm] y_p(x)= y_{p1}(x)+y_{p2}(x)
[/mm]
Wäre dieser Ansatz auch korrekt ?
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Hallo arti8,
> Ok. Ich hab jetzt anhand der Tabellen aus dem Internet
> versucht die Aufgabe zu lösen.
> Fast alles richtig, vielleicht habe ich mich auf dem Weg
> zur Lösungs verechnet.
>
> Aber jetzt nochmal:
> Also ich habe 2 Summanden.
>
> a) 1. [mm]Summand(x*e^x)= \alpha=1=\lambda_1\not=\lambda_2[/mm]
> (einfache Lösung der char. Gleichung)
>
> b) 2. [mm]Summand(e^{2x})= \alpha=2\not=\lambda_1\not=\lambda_2[/mm]
> (keine Lösung der char. Gleichung)
>
> Ansatz:
> a) [mm]Ax*e^x=y_{p1}(x)[/mm]
Dieser Ansatz ist nicht korrekt, da
der erste Summand ein lineares Polynom in [mm]e^{x}[/mm] ist
und [mm]e^{x}[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist.
> b) [mm]B*e^{2x}=y_{p2}(x)[/mm]
>
Korrekt.
> [mm]y_p(x)= y_{p1}(x)+y_{p2}(x)[/mm]
>
> Wäre dieser Ansatz auch korrekt ?
Gruss
MathePower
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