Peano Axiome < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:25 Do 21.04.2011 | | Autor: | steve.joke |
| Aufgabe | | Folgere aus den Peano-Axiomen, dass aus xy=2 folgt x=2 oder y=2. |
Hallo, könnt ihr mir vielleicht hier helfen?
Habe gerade überhaupt keine Idee, wie man das mit den Axiomen zeigen könnte.
Die Axiome sind ja:
a) 0/1 ist eine (natürliche) Zahl.
b) Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
c) 0/1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.
d) Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.
e) Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen
Wie kann man das jetzt drauf anwenden??
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Do 21.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es fehlt noch wie das Produkt x*y definiert wurde.
und natürlich 2 ist nachfolger von 1
was bedeutet deine Schreibweise 0/1 gehört 0 zu [mm] \IN [/mm] oder nicht?
Gruss leduart
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Hi,
> was bedeutet deine Schreibweise 0/1 gehört 0 zu $ [mm] \IN [/mm] $ oder nicht?
Nein, das sollte bedeuten 0 oder 1. Weil einige betrachten die 0 ja dazu, andere wieder nicht.
Das Produkt haben wir wie folgt definiert:
Für jedes a [mm] \in \IN [/mm] gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion [mm] G_a [/mm] mit
[mm] G_a(0)=0 [/mm] und [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a.
[/mm]
Für jedes a [mm] \in \IN [/mm] wird die Funktion [mm] G_a [/mm] gegeben durch
[mm] G_a(x)=ax.
[/mm]
S bedeutet in diesem Falle:
Sei [mm] \IN [/mm] eine ausgezeichnete Menge und 0 [mm] \in \IN [/mm] ein Element aus [mm] \IN. [/mm] Weiter sei S: [mm] \IN \to \IN [/mm] eine Abbildung, für die gilt:
(1) 0 [mm] \not\in S(\IN)
[/mm]
(2) S ist injektiv
(3) Sei A [mm] \subset \IN [/mm] mit 0 [mm] \in [/mm] A und für jedes a [mm] \in [/mm] A gelte S(a) [mm] \in [/mm] A. Dann ist [mm] A=\IN.
[/mm]
Wir sagen, dass [mm] (\IN,0,S) [/mm] die natürlichen Zahlen sind.
(Das sind auch nochmal die Peano Axiome, so wie wir die aufgeschrieben haben).
Kannst du mir damit helfen??
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Do 21.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nach deiner def. von S(x) ist S(x) der nachfolger von x also x+ dann sieh dir die Def von [mm] G_a(x) [/mm] noch mal an und benutze 2=1+1
bzw 2=S(1)
gruss leduart
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Hi,
hierzu nochmal. Also ich kann dann sagen, sei 2 die Nachfolgezahl von 1, also S(1)=2.
Nach der Def.
> Für jedes a $ [mm] \in \IN [/mm] $ gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion $ [mm] G_a [/mm] $ mit
> $ [mm] G_a(0)=0 [/mm] $ und $ [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm] $
> Für jedes a $ [mm] \in \IN [/mm] $ wird die Funktion $ [mm] G_a [/mm] $ gegeben durch
> $ [mm] G_a(x)=ax. [/mm] $
folgt dann:
[mm] x*y=G_{S(1)}(S(1))=G_{S(1)}(1)+S(1)=G_{S(1)}(1)+2
[/mm]
hmmm, aber wie folge ich jetzt daraus x oder y=2?? und was mache ich mit [mm] G_{S(1)}(1)???
[/mm]
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Sa 23.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
x*y=1+1
[mm] G_1(S(1))=1+1 [/mm] S(1)=2 [mm] G_1(2)=1*2=x*y
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ich muss hierzu leider immer noch was fragen, denn so richtig habe ich es noch nicht verstanden.
> $ [mm] G_a(0)=0 [/mm] $ und $ [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm] $, $ [mm] G_a(x)=ax. [/mm] $
Das war ja die Def.
> x*y=1+1
> $ [mm] G_1(S(1))=1+1 [/mm] $ S(1)=2 $ [mm] G_1(2)=1\cdot{}2=x\cdot{}y [/mm] $
D.h. ich muss zwei Sachen voraussetzen, einmal dass x*y=1+1 ist und S(1)=2 richtig?
Ich verstehe trotzdem nicht, wie du auf [mm] G_1(S(1))=1+1 [/mm] kommst, und daraus dann [mm] G_1(2)=1\cdot{}2=x\cdot{}y [/mm] folgerst.
Denn in der Def. von [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a [/mm] steht ja an zweiter Stelle [mm] G_a(x), [/mm] woher weiß ich aber, dass [mm] G_a(x) [/mm] bzw. [mm] G_1(1) [/mm] auch gleich 1 ist?
und wie folgerst du dann daraus [mm] G_1(2)=1\cdot{}2=x\cdot{}y??
[/mm]
Habe irgendwie gerade ein Brett vorm Kopf .....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mo 25.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] G_a(x)=a*x [/mm] mit a=1 x=2 [mm] G_1(2)=1*2
[/mm]
$ [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm] $ wieder a=1 x=1 ergibt $ [mm] G_1(S(1))=G_1(1)+1=1*1+1. [/mm] $
Gruss leduart
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Hi Leduart,
aber hier passt doch was nicht, oder?
> [mm] G_a(x)=a\cdot{}x [/mm] mit a=1 x=2 [mm] G_1(2)=1\cdot{}2 [/mm]
Ok, das ist ja nur einsetzen von a=1 und x=2.
> [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a. [/mm] wieder a=1 x=1 ergibt
warum setzt du aber nun hier x=1, müsste doch x=2 wieder heißen, oder???
> [mm] G_1(S(1))=G_1(1)+1=1\cdot{}1+1. [/mm]
Das müsste dann wohl [mm] G_1(S(2))=G_1(1)+1
[/mm]
Jetzt wissen wir aber eigentlich gar nicht, was [mm] G_1(1) [/mm] ist. Muss man das aus x*y=1+1=2 schließen?
Und warum dann aus [mm] G_1(S(2))=G_1(1)+1=1+1 [/mm] gleich 1*2 folgen muss, verstehe ich auch noch nicht so :-/
verstehe auch eh noch nicht so ganz den Zusammenhang in der Def. zwischen [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a [/mm] und [mm] G_a(x)=a\cdot{}x....
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Mo 25.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was x in der formel ist ist doch egal. vielleicht hät ich nicht x verwenden sollen sondern z oder z1 und z2
in die [mm] G_a(S(x))=G_a(x)+a
[/mm]
kannst du doch für x und a jeden anderen buchstaben oder jede andere zahl einsetzen.
du musst dir klar machen, dass S(x) nach definition der Nachfolgervon x ist, in üblicher Schreibweise also s(x)=x+1
S(2)=3 kommt nirgends vor.
die zeile $ [mm] G_1(S(2))=G_1(1)+1 [/mm] $ ist nach Def falsch hier ist doch entsprechend deiner Formel x=2.
vielleicht solltest du bei S(x) wirklich an "successor=Nachfolger" denken, ich find eure Vorlesung hat das sehr umstandlich gemacht, die meisten Leute machen das einfache und definieren direkt n'=Nachfolger von n dieses n' ist dein S(n)
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Mo 25.04.2011 | | Autor: | steve.joke |
Hi,
vielen Dank für deine Geduld. Jetzt habe ich es verstanden 
Grüße
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