Perfect fourth powers < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Charakterisieren Sie vollständig:
a) Elemente aus [mm] \IZ_{17} [/mm] (17-adic integers), die perfekte 4er Potenzen sind. (Beginnen Sie mit den Einheiten) |
Hallo zusammen
Wir haben die p-adischen Zahlen kurz angeschnitten, doch nicht wirklich intensiv durchgenommen.. ich denke aber, dass dieses Thema relativ wichtig ist und habe angefangen übungen zu lösen.
Also, ich schreibe mal auf was ich hierzu habe.. bin mir allerdings wahnsinnig unsicher..
Die Einheiten in [mm] \IZ_{17} [/mm] sind genau x [mm] \in \IZ_{17}: |x|_{17} [/mm] = 1
[mm] |x|_{17} [/mm] = [mm] 17^{-v_{17}(x)} \overset{!}{=} [/mm] 1,
[mm] -v_{17}(x) [/mm] = [mm] max\{v \mid v|x\}
[/mm]
x = [mm] y^{4} [/mm] für ein y [mm] \in \IZ_{17}
[/mm]
Kann ich nun schreiben, [mm] y^{4} [/mm] = [mm] m\cdot\frac{1}{17} \in \mathbb{Z}^{\times}_{17}? [/mm] Ich glaube, das ist Unfug..
Nun, ihr seht, ich weiss nicht wirklicch wie das ganze angehen.. kann mir jemand einen Tipp geben? :)
Danke euch, für eure Mühe :)
Grüsse, Amaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Charakterisieren Sie vollständig:
>
> a) Elemente aus [mm]\IZ_{17}[/mm] (17-adic integers), die perfekte
> 4er Potenzen sind. (Beginnen Sie mit den Einheiten)
> Hallo zusammen
>
> Wir haben die p-adischen Zahlen kurz angeschnitten, doch
> nicht wirklich intensiv durchgenommen.. ich denke aber,
> dass dieses Thema relativ wichtig ist und habe angefangen
> übungen zu lösen.
> Also, ich schreibe mal auf was ich hierzu habe.. bin mir
> allerdings wahnsinnig unsicher..
>
>
> Die Einheiten in [mm]\IZ_{17}[/mm] sind genau x [mm]\in \IZ_{17}: |x|_{17}[/mm]
> = 1
Genau.
> [mm]|x|_{17}[/mm] = [mm]17^{-v_{17}(x)} \overset{!}{=}[/mm] 1,
> [mm]-v_{17}(x)[/mm] = [mm]max\{v \mid v|x\}[/mm]
Du meinst [mm] $v_{17}(x) [/mm] = [mm] \max\{ v \mid 17^v | x \}$.
[/mm]
Es sind also gerade die Elemente aus [mm] $\IZ_{17}$ [/mm] Einheiten, die gar nicht durch $17$ teilbar sind.
> x = [mm]y^{4}[/mm] für ein y [mm]\in \IZ_{17}[/mm]
>
> Kann ich nun schreiben, [mm]y^{4}[/mm] = [mm]m\cdot\frac{1}{17} \in \mathbb{Z}^{\times}_{17}?[/mm]
> Ich glaube, das ist Unfug..
Wieso sollte $y$ diese Form haben? Dann waer es doch gar keine Einheit!
> Nun, ihr seht, ich weiss nicht wirklicch wie das ganze
> angehen.. kann mir jemand einen Tipp geben? :)
Schreibe $x = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k 17^k$ [/mm] mit [mm] $a_k \in \{ 0, \dots, 16 \}$. [/mm] Wann ist $x [mm] \in \IZ_{17}^\ast$? [/mm] (Das sollte eine einfache Bedingung an [mm] $a_0$ [/mm] sein.)
Sei $x$ eine Einheit. Schau dir das Polynom [mm] $T^4 [/mm] - x [mm] \in \IZ_{17}[T]$ [/mm] an. Jetzt schau es dir modulo 17 an: wann hat es dort eine Loesung? Und kannst du Hensels Lemma anwenden um daraus auf die Loesbarkeit in [mm] $\IZ_{17}$ [/mm] zu schliessen?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo!
> Moin Amaro!
>
> > Charakterisieren Sie vollständig:
> >
> > a) Elemente aus [mm]\IZ_{17}[/mm] (17-adic integers), die perfekte
> > 4er Potenzen sind. (Beginnen Sie mit den Einheiten)
> > Die Einheiten in [mm]\IZ_{17}[/mm] sind genau x [mm]\in \IZ_{17}: |x|_{17}[/mm]
> > = 1
>
> Genau.
>
> > [mm]|x|_{17}[/mm] = [mm]17^{-v_{17}(x)} \overset{!}{=}[/mm] 1,
> > [mm]-v_{17}(x)[/mm] = [mm]max\{v \mid v|x\}[/mm]
>
> Du meinst [mm]v_{17}(x) = \max\{ v \mid 17^v | x \}[/mm].
>
Ähm, ja.. also die maximale Potenz, so dass [mm] 17^{v} [/mm] immernoch x teilt :)
> Es sind also gerade die Elemente aus [mm]\IZ_{17}[/mm] Einheiten,
> die gar nicht durch [mm]17[/mm] teilbar sind.
>
> > x = [mm]y^{4}[/mm] für ein y [mm]\in \IZ_{17}[/mm]
>
> Schreibe [mm]x = \sum_{k=0}^\infty a_k 17^k[/mm] mit [mm]a_k \in \{ 0, \dots, 16 \}[/mm].
> Wann ist [mm]x \in \IZ_{17}^\ast[/mm]? (Das sollte eine einfache
> Bedingung an [mm]a_0[/mm] sein.)
Na, das muss ich mir kurz überlegen
Das Einselement ist 1 = (1,0,0,0,...).. und die Multiplikation ist [mm] (a_{1},a_{2},...)(b_{1},b_{2},...) [/mm] = [mm] (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},...)
[/mm]
Somit ist die bedingung an x, um Invertierbar zu sein, dass [mm] a_{0} \neq [/mm] 0.
>
> Sei [mm]x[/mm] eine Einheit. Schau dir das Polynom [mm]T^4 - x \in \IZ_{17}[T][/mm]
> an. Jetzt schau es dir modulo 17 an: wann hat es dort eine
> Loesung? Und kannst du Hensels Lemma anwenden um daraus auf
> die Loesbarkeit in [mm]\IZ_{17}[/mm] zu schliessen?
Hmm. :S Leider nicht auf Anhieb.. wir haben nix mit Polynomen gemacht (man hat zu wenig Zeit in nem Semester.. die Interessanten Sachen leiden darunter..).
Aber ich schau mir das Lemma mal an.. immerhin interessiert mich das ganze Thema :)
Ist es aber die einzige Möglichkeit, dies zu lösen? Also über den Polynomen?
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 11.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Es sind also gerade die Elemente aus [mm]\IZ_{17}[/mm] Einheiten,
> > die gar nicht durch [mm]17[/mm] teilbar sind.
> >
> > > x = [mm]y^{4}[/mm] für ein y [mm]\in \IZ_{17}[/mm]
> >
> > Schreibe [mm]x = \sum_{k=0}^\infty a_k 17^k[/mm] mit [mm]a_k \in \{ 0, \dots, 16 \}[/mm].
> > Wann ist [mm]x \in \IZ_{17}^\ast[/mm]? (Das sollte eine einfache
> > Bedingung an [mm]a_0[/mm] sein.)
>
> Na, das muss ich mir kurz überlegen
>
> Das Einselement ist 1 = (1,0,0,0,...).. und die
> Multiplikation ist [mm](a_{1},a_{2},...)(b_{1},b_{2},...)[/mm] =
> [mm](a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},...)[/mm]
Die Multiplikation sieht nicht so aus! Es gibt naemlich Uebertraege...
> Somit ist die bedingung an x, um Invertierbar zu sein, dass
> [mm]a_{0} \neq[/mm] 0.
Bei deiner Multiplikation nicht, wenn du Uebertraege hast aber schon 
> > Sei [mm]x[/mm] eine Einheit. Schau dir das Polynom [mm]T^4 - x \in \IZ_{17}[T][/mm]
> > an. Jetzt schau es dir modulo 17 an: wann hat es dort eine
> > Loesung? Und kannst du Hensels Lemma anwenden um daraus auf
> > die Loesbarkeit in [mm]\IZ_{17}[/mm] zu schliessen?
>
> Hmm. :S Leider nicht auf Anhieb.. wir haben nix mit
> Polynomen gemacht (man hat zu wenig Zeit in nem Semester..
> die Interessanten Sachen leiden darunter..).
> Aber ich schau mir das Lemma mal an.. immerhin interessiert
> mich das ganze Thema :)
Das Lemma ist sowieso sehr praktisch :)
> Ist es aber die einzige Möglichkeit, dies zu lösen? Also
> über den Polynomen?
Wuerd mich nicht wundern wenn es einen gibt. Ich kenne aber keinen anderen; aber man kann sicher den Beweis mit elementaren Methoden imitieren
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Sei [mm]x[/mm] eine Einheit. Schau dir das Polynom [mm]T^4 - x \in \IZ_{17}[T][/mm]
> an. Jetzt schau es dir modulo 17 an: wann hat es dort eine
> Loesung? Und kannst du Hensels Lemma anwenden um daraus auf
> die Loesbarkeit in [mm]\IZ_{17}[/mm] zu schliessen?
>
Ich verzweifle noch.. nicht nur, dass wir Hensels Lemma nicht hatten, ich hab auch keine Ahnung, wie ich diese Kongruenz lösen soll... ich habe ein wenig gesucht und versucht, was rauszukriegen, doch meine Lösung ist trivial, denn ich erhalte
[mm] T^{4} [/mm] - x [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 17) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = [mm] T^{4} [/mm] + 17k mit T [mm] \in \IZ_{17}, [/mm] k [mm] \in \IZ... [/mm] aber das kann nicht sein...
Es tut mir leid, dass ich mich so anstelle, aber ich finde gar nix in meinen Unterlagen zu diesem Thema...
Vielleicht kann das jemand an einem anderen (ähnlichen) Beispiel erklären?
Danke, übrigens, für die aufgebrachte Geduld.. :)
> LG Felix
>
Liebe Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mi 12.05.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> > Sei [mm]x[/mm] eine Einheit. Schau dir das Polynom [mm]T^4 - x \in \IZ_{17}[T][/mm]
> > an. Jetzt schau es dir modulo 17 an: wann hat es dort eine
> > Loesung? Und kannst du Hensels Lemma anwenden um daraus auf
> > die Loesbarkeit in [mm]\IZ_{17}[/mm] zu schliessen?
> >
>
> Ich verzweifle noch.. nicht nur, dass wir Hensels Lemma
> nicht hatten, ich hab auch keine Ahnung, wie ich diese
> Kongruenz lösen soll... ich habe ein wenig gesucht und
> versucht, was rauszukriegen, doch meine Lösung ist
> trivial, denn ich erhalte
>
> [mm]T^{4}[/mm] - x [mm]\equiv[/mm] 0 (mod 17) [mm]\Leftrightarrow[/mm] x = [mm]T^{4}[/mm] + 17k
> mit T [mm]\in \IZ_{17},[/mm] k [mm]\in \IZ...[/mm] aber das kann nicht
> sein...
Kann es doch! (Blackout?) 1 ist z. B. eine 4. Potenz mod 17, -1 auch, weil [mm] 2^4 [/mm] = 16 ist.
> Es tut mir leid, dass ich mich so anstelle, aber ich finde
> gar nix in meinen Unterlagen zu diesem Thema...
Du kannst z. B. mit dem Newtonschen Approximationsverfahren arbeiten, das kennst du vielleicht im Reellen, aber es funktioniert auch im p-adischen.
Als Literaturhinweis: Serre, Cours d'Arithmétique
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo
> Mahlzeit!
> >
> > Ich verzweifle noch.. nicht nur, dass wir Hensels Lemma
> > nicht hatten, ich hab auch keine Ahnung, wie ich diese
> > Kongruenz lösen soll... ich habe ein wenig gesucht und
> > versucht, was rauszukriegen, doch meine Lösung ist
> > trivial, denn ich erhalte
> >
> > [mm]T^{4}[/mm] - x [mm]\equiv[/mm] 0 (mod 17) [mm]\Leftrightarrow[/mm] x = [mm]T^{4}[/mm] + 17k
> > mit T [mm]\in \IZ_{17},[/mm] k [mm]\in \IZ...[/mm] aber das kann nicht
> > sein...
>
> Kann es doch! (Blackout?) 1 ist z. B. eine 4. Potenz mod
> 17, -1 auch, weil [mm]2^4[/mm] = 16 ist.
Ah, ok, macht Sinn.. es erschien mir nur eine triviale Lösung zu sein..
Nun, dann habe ich f(x) [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 17) für ein x = [mm] T^{4} [/mm] + 17k mit T [mm] \in \IZ_{17}, [/mm] k [mm] \in \IZ. [/mm]
Das sind die Einheiten, die perfekte 4er Potenzen sind...
Ich versuche nun, Hensels Lemma anzuwenden (falls ich das Lemma richtig verstehe... haben wir nicht behandelt)
Ich bin im Fall:
- f(x) [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 17)
- f'(x) [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 17)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x+t) [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 17) [mm] \forall [/mm] t [mm] \in \IZ
[/mm]
Somit sind alle perfekte 4er Potenzen gegeben, durch x = [mm] T^{4} [/mm] + 17k + t mit T [mm] \in \IZ_{17}, [/mm] k,t [mm] \in \IZ
[/mm]
Kann das stimmen?
>
> > Es tut mir leid, dass ich mich so anstelle, aber ich finde
> > gar nix in meinen Unterlagen zu diesem Thema...
>
> Du kannst z. B. mit dem Newtonschen Approximationsverfahren
> arbeiten, das kennst du vielleicht im Reellen, aber es
> funktioniert auch im p-adischen.
>
> Als Literaturhinweis: Serre, Cours d'Arithmétique
>
Danke für den Hinweis :)
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 14.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Mi 12.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Es tut mir leid, dass ich mich so anstelle, aber ich finde
> > gar nix in meinen Unterlagen zu diesem Thema...
>
> Du kannst z. B. mit dem Newtonschen Approximationsverfahren
> arbeiten, das kennst du vielleicht im Reellen, aber es
> funktioniert auch im p-adischen.
Das kenn ich auch unter dem Begriff "Henselsches Lemma", bzw. als Newton-Hensel-Lemma.
> Als Literaturhinweis: Serre, Cours d'Arithmétique
Findet sich auch im "Lehrbuch der Algebra, Teil II" von Scheja und Storch.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Do 13.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | b) Elemente a [mm] \in \IZ_{2} [/mm] für welche die Gleichung [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] = a mit 2-adischen ganzen Zahlen x,y eine Lösung hat. |
Hallo
Das ist der zweite Teil der Aufgabe...
Ich habe zuerst versucht, die Quadrate in [mm] \IZ_{2} [/mm] zu charakterisieren, komme jedoch auf kein brauchbares Ergebnis. Dann habe ich versucht, x und y als Serienentwicklung [mm] (\sum\limits_{k=0}^{\infty}{a_{k}2^{k}})^{2} [/mm] zu schreiben und dann damit rumgespielt, doch auch das hilft mir nicht weiter.
Ich habe ein paar sachen gefunden, welche aber p [mm] \neq [/mm] 2 voraussetzen (für die Quadrate), und dachte, evtl. muss ich auch hier Hensels Lemma anwenden...
Dann habe ich aber gesetzt:
f(T) = [mm] T^{2} [/mm] - x [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 2) [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] T^{2} [/mm] + 2k + t mit T [mm] \in \IZ_{2}, [/mm] k,t [mm] \in \IZ
[/mm]
f(T) = [mm] T^{2}' [/mm] - y [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 2) [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] T^{2}' [/mm] + 2k' + t' mit T' [mm] \in \IZ_{2}, [/mm] k',t' [mm] \in \IZ
[/mm]
Kann ich nun quadrieren und so auf eine Darstellung für a kommen, oder bin ich so auf dem Holzweg?
Liebe Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Fr 14.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> b) Elemente a [mm]\in \IZ_{2}[/mm] für welche die Gleichung
> [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] = a mit 2-adischen ganzen Zahlen x,y eine
> Lösung hat.
> Hallo
>
> Das ist der zweite Teil der Aufgabe...
>
> Ich habe zuerst versucht, die Quadrate in [mm]\IZ_{2}[/mm] zu
> charakterisieren, komme jedoch auf kein brauchbares
> Ergebnis. Dann habe ich versucht, x und y als
> Serienentwicklung
> [mm](\sum\limits_{k=0}^{\infty}{a_{k}2^{k}})^{2}[/mm] zu schreiben
> und dann damit rumgespielt, doch auch das hilft mir nicht
> weiter.
ich vermute mal, dass du dir das erstmal modulo 8 anschauen solltest. :)
Versuch dann die Frage mal in [mm] $\IZ/2^k\IZ$ [/mm] anzuschauen. Eventuell kannst du die Loesbarkeit in [mm] $\IZ/2^{k+1}\IZ$ [/mm] aus der in [mm] $\IZ/2^k\IZ$ [/mm] folgern, wenn $k$ gross genug ist?
> Ich habe ein paar sachen gefunden, welche aber p [mm]\neq[/mm] 2
> voraussetzen (für die Quadrate), und dachte, evtl. muss
> ich auch hier Hensels Lemma anwenden...
> [...]
Ich weiss nicht ob du hiermit weiterkommst.
LG Felix
|
|
|
|
