Periode von Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Fr 22.09.2006 | | Autor: | Lisalou |
| Aufgabe | | Woher weiß ich, dass die Funktion cosnx die Periode 2pi/n hat? Zeichnerisch kann ich die periode ermitteln aber geht das auch (einfacher/) rechnerisch? |
Wie kann ich die Periode über einen Rechenweg herausfinden?
Vorweg Danke für eure Hilfe
Lisalou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Fr 22.09.2006 | | Autor: | ullim |
Der Cosinus ist periodisch mit Periode [mm] 2*\pi. [/mm] D.h. cos(n*x) ist ebenfalls periodisch. Aus n*x = [mm] 2*\pi \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{2*\pi}{n}
[/mm]
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Hi, Lisalou,
> Woher weiß ich, dass die Funktion cosnx die Periode 2pi/n
> hat? Zeichnerisch kann ich die periode ermitteln aber geht
> das auch (einfacher/) rechnerisch?
> Wie kann ich die Periode über einen Rechenweg
> herausfinden?
(1) Du weißt ja bereits, dass für den Cosinus gilt:
[mm] cos(x+2k*\pi) [/mm] = cos(x) (für ganzzahlige Werte von k),
denn der Cosinus hat ja die Periode [mm] p=2\pi.
[/mm]
(Das heißt ja anschaulich: Wenn Du im Argument des Cosinus IRGENDEIN BELIEBIGES VIELFACHES von [mm] 2\pi [/mm] dazuzählst, kommt doch immer wieder dasselbe raus wie "am Anfang".)
(2) Für cos(nx) muss man die Periode sozusagen "vermuten" und beweist sie anschließend: [mm] p=\bruch{2\pi}{n}
[/mm]
Ansatz analog zu oben: setze an die Stelle von x den Ausdruch "(x+k*p)", in unserem Fall also: (x + [mm] k*\bruch{2\pi}{n}) [/mm] ein und forme um:
cos(n*(x + [mm] k*\bruch{2\pi}{n})) [/mm]
= cos(nx + [mm] n*k*\bruch{2\pi}{n}) [/mm]
= cos(nx + [mm] k*2\pi)
[/mm]
Und nach Bemerkung (1) ergibt das wieder: cos(nx).
Damit ist die Periode (praktisch) bewiesen.
mfG!
Zwerglein
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