Periodic continued fraction < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Do 15.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | Let [mm] \xi \in \IR [/mm] be an irrational number with a periodic continued fraction expansion. Show that [mm] \xi [/mm] is quadratic, i.e. is of the form [mm] a+b\sqrt{d} [/mm] for some a,b,c [mm] \in \IQ [/mm] |
Hallo Zusammen
In der Vorlesung haben wir die andere Richtung gezeigt, welche ja eigentlich schwieriger ist. Diese Richtung sollte relativ "straightforward" gehen.. doch ich komme nicht drauf :)
Ich schreibe zuerst:
[mm] \xi [/mm] = [mm] [a_{0};a_{1},...,a_{n},\overline{a_{n+1},...,a_{m}}] [/mm] = [mm] [a_{0};a_{1},...,a_{n},\alpha] [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] [a_{n+1},...,a_{m},\alpha]
[/mm]
Ich nehme an, [mm] \xi [/mm] hat eine periodische Kettenbruchentwicklung. Mit dem obigen [mm] \alpha [/mm] kann ich schreiben:
[mm] \xi [/mm] = [mm] a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{\vdots a_{n}+\frac{1}{\alpha}}}
[/mm]
Wenn ich jetzt zuerst [mm] \alpha [/mm] betrachte, kriege ich:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] [a_{n+1},...,a_{m},\alpha] [/mm] = [mm] \frac{\alpha p_{n} + p_{n-1}}{\alpha q_{n} + q_{n-1}} [/mm] wobei hier [mm] \frac{p_{n}}{q_{n}} [/mm] die n'te Konvergenz ist.
Jetzt kann ich [mm] \xi [/mm] umschreiben als:
[mm] \xi [/mm] = [mm] a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{\vdots a_{n}+\frac{\alpha q_{n} + q_{n-1}}{\alpha p_{n} + p_{n-1}}}}
[/mm]
Wie soll ich hier weitermachen?
Ich bin um jede Hilfe dankbar :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Do 15.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Let [mm]\xi \in \IR[/mm] be an irrational number with a periodic
> continued fraction expansion. Show that [mm]\xi[/mm] is quadratic,
> i.e. is of the form [mm]a+b\sqrt{d}[/mm] for some a,b,c [mm]\in \IQ[/mm]
>
> Hallo Zusammen
>
> In der Vorlesung haben wir die andere Richtung gezeigt,
> welche ja eigentlich schwieriger ist. Diese Richtung sollte
> relativ "straightforward" gehen.. doch ich komme nicht
> drauf :)
>
> Ich schreibe zuerst:
> [mm]\xi[/mm] = [mm][a_{0};a_{1},...,a_{n},\overline{a_{n+1},...,a_{m}}][/mm]
> = [mm][a_{0};a_{1},...,a_{n},\alpha][/mm] mit [mm]\alpha[/mm] =
> [mm][a_{n+1},...,a_{m},\alpha][/mm]
>
> Ich nehme an, [mm]\xi[/mm] hat eine periodische
> Kettenbruchentwicklung. Mit dem obigen [mm]\alpha[/mm] kann ich
> schreiben:
>
> [mm]\xi[/mm] = [mm]a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{\vdots a_{n}+\frac{1}{\alpha}}}[/mm]
>
>
> Wenn ich jetzt zuerst [mm]\alpha[/mm] betrachte, kriege ich:
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm][a_{n+1},...,a_{m},\alpha][/mm] = [mm]\frac{\alpha p_{n} + p_{n-1}}{\alpha q_{n} + q_{n-1}}[/mm]
> wobei hier [mm]\frac{p_{n}}{q_{n}}[/mm] die n'te Konvergenz ist.
Wenn du jetzt das ganze mit [mm] $\alpha q_n [/mm] + [mm] q_{n-1}$ [/mm] multiplizierst, bekommst du (nach etwas umformen) eine quadratische Gleichung, deren eine Loesung [mm] $\alpha$ [/mm] ist. Daraus folgt, dass [mm] $\alpha$ [/mm] von der gesuchten Form ist.
> Jetzt kann ich [mm]\xi[/mm] umschreiben als:
>
> [mm]\xi[/mm] = [mm]a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{\vdots a_{n}+\frac{\alpha q_{n} + q_{n-1}}{\alpha p_{n} + p_{n-1}}}}[/mm]
Also ist [mm] $\xi$ [/mm] ein rationaler Ausdruck in [mm] $\alpha$. [/mm] Wenn also [mm] $\alpha$ [/mm] im Koerper [mm] $\IQ(\sqrt{d}) [/mm] = [mm] \{ a + b \sqrt{d} \mid a, b \in \IQ \}$ [/mm] liegt, dann ebenso [mm] $\xi$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:01 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix
Na, das ist also schon fertig? Na gut.. dann bin ich froh :)
Vielen Dank (einmal wieder) für deine Hilfe!
Grüsse, Amaro
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