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| Aufgabe | Sei [mm] u''(t)=u(t)^2-u(t)^3
[/mm]
Für welche Anfangswerte ist (u(0), u'(0)) periodisch? |
Guten Abend. Zuerst habe ich u'(t) bestimmt
[mm] u'(t)=\pm\wurzel{\bruch{2}{3}u(t)^3-\bruch{1}{2}u(t)^4+c}
[/mm]
(1) Wenn ich mir jetzt die Phasenebene ansehe (ich habe ein Bild vor mir liegen), dann erkennt man periodische Lösungen doch immer an den geschlossenen Kurven. Ist eine Kurve in der Phasenebene nicht geschlossen, dann ist die Lösung der DGL die einen gemeinsamen Punkt mit dieser Kurve hat, doch auch nicht periodisch oder?
(2) Anhand des Bildes sieht man, dass die Kurve die durch den Gleichgewichtspunkt (0,0) geht nicht geschlossen ist. Inwiefern hängt das jetzt mit u'(t) zusammen? Ich habe ja nicht immer so eine schöne Phasenebene. Also wie kann ich jetzt mithilfe von u'(t) sagen, wann eine Lösung periodisch ist? Gibt es da ein klares Kriterium.. einen Satz oder wie argumentiert man?
Grüße, kullinarisch
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Hallo kullinarisch,
> Sei u''(t)=-sin(u(t))
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> Für welche Anfangswerte ist (u(0), u'(0)) periodisch?
> Guten Abend. Zuerst habe ich u'(t) bestimmt
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> [mm]u'(t)=\pm\wurzel{\bruch{2}{3}u(t)^3-\bruch{1}{2}u(t)^4+c}[/mm]
>
Poste die Rechenschritte dazu, wie DU darauf kommst.
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> (1) Wenn ich mir jetzt die Phasenebene ansehe (ich habe ein
> Bild vor mir liegen), dann erkennt man periodische
> Lösungen doch immer an den geschlossenen Kurven. Ist eine
> Kurve in der Phasenebene nicht geschlossen, dann ist die
> Lösung der DGL die einen gemeinsamen Punkt mit dieser
> Kurve hat, doch auch nicht periodisch oder?
>
> (2) Anhand des Bildes sieht man, dass die Kurve die durch
> den Gleichgewichtspunkt (0,0) geht nicht geschlossen ist.
> Inwiefern hängt das jetzt mit u'(t) zusammen? Ich habe ja
> nicht immer so eine schöne Phasenebene. Also wie kann ich
> jetzt mithilfe von u'(t) sagen, wann eine Lösung
> periodisch ist? Gibt es da ein klares Kriterium.. einen
> Satz oder wie argumentiert man?
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Hier ein Link dazu: ![[]](/images/popup.gif) Differentialgleichungen - Goethe-Universität
> Grüße, kullinarisch
>
Gruss
MathePower
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> Hallo kullinarisch,
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> > Sei u''(t)=-sin(u(t))
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> > Für welche Anfangswerte ist (u(0), u'(0)) periodisch?
> > Guten Abend. Zuerst habe ich u'(t) bestimmt
> >
> > [mm]u'(t)=\pm\wurzel{\bruch{2}{3}u(t)^3-\bruch{1}{2}u(t)^4+c}[/mm]
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> Poste die Rechenschritte dazu, wie DU darauf kommst.
Zuerst muss ich die DGL korrigieren, habe die falsche gepostet. Es geht um:
[mm] u''(t)=u(t)^2-u(t)^3
[/mm]
Wie ich auf u'(t) komme:
Wir hatten da so eine Vorgehensweise die recht nützlich ist, vorallem bei DGL 2. Ordnung in der kein u' drin vor kommt. Eine Kurve im Phasenraum ist lokal der Graph einer Funktion V in abhängigkeit von u:
V(u(t))= u'(t)
ableiten nach t bekommt man u''(t)=V(u(t))'*u(t)'=V(u(t))'*V(u(t))
mit u(t)=u folgt dann [mm] V(u)'V(u)=u''(t)=u(t)^2-u(t)^3 [/mm] und dann integriert man:
[mm] \bruch{1}{2}V(u)^2=\bruch{1}{3}u^3-\bruch{1}{4}u^4+c
[/mm]
[mm] V(u)=\pm\wurzel{\bruch{2}{3}u(t)^3-\bruch{1}{2}u(t)^4+c}
[/mm]
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> > (1) Wenn ich mir jetzt die Phasenebene ansehe (ich habe ein
> > Bild vor mir liegen), dann erkennt man periodische
> > Lösungen doch immer an den geschlossenen Kurven. Ist eine
> > Kurve in der Phasenebene nicht geschlossen, dann ist die
> > Lösung der DGL die einen gemeinsamen Punkt mit dieser
> > Kurve hat, doch auch nicht periodisch oder?
> >
> > (2) Anhand des Bildes sieht man, dass die Kurve die durch
> > den Gleichgewichtspunkt (0,0) geht nicht geschlossen ist.
> > Inwiefern hängt das jetzt mit u'(t) zusammen? Ich habe ja
> > nicht immer so eine schöne Phasenebene. Also wie kann ich
> > jetzt mithilfe von u'(t) sagen, wann eine Lösung
> > periodisch ist? Gibt es da ein klares Kriterium.. einen
> > Satz oder wie argumentiert man?
> >
>
>
> Hier ein Link dazu:
> Differentialgleichungen - Goethe-Universität
>
>
>
> > Grüße, kullinarisch
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo kullinarisch,
> > Hallo kullinarisch,
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> > > Sei u''(t)=-sin(u(t))
> > >
> > > Für welche Anfangswerte ist (u(0), u'(0)) periodisch?
> > > Guten Abend. Zuerst habe ich u'(t) bestimmt
> > >
> > > [mm]u'(t)=\pm\wurzel{\bruch{2}{3}u(t)^3-\bruch{1}{2}u(t)^4+c}[/mm]
> > >
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> >
> > Poste die Rechenschritte dazu, wie DU darauf kommst.
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> Zuerst muss ich die DGL korrigieren, habe die falsche
> gepostet. Es geht um:
>
> [mm]u''(t)=u(t)^2-u(t)^3[/mm]
>
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> Wie ich auf u'(t) komme:
> Wir hatten da so eine Vorgehensweise die recht nützlich
> ist, vorallem bei DGL 2. Ordnung in der kein u' drin vor
> kommt. Eine Kurve im Phasenraum ist lokal der Graph einer
> Funktion V in abhängigkeit von u:
>
> V(u(t))= u'(t)
>
>
> ableiten nach t bekommt man
> u''(t)=V(u(t))'*u(t)'=V(u(t))'*V(u(t))
>
> mit u(t)=u folgt dann [mm]V(u)'V(u)=u''(t)=u(t)^2-u(t)^3[/mm] und
> dann integriert man:
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> [mm]\bruch{1}{2}V(u)^2=\bruch{1}{3}u^3-\bruch{1}{4}u^4+c[/mm]
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> [mm]V(u)=\pm\wurzel{\bruch{2}{3}u(t)^3-\bruch{1}{2}u(t)^4+c}[/mm]
>
Ok,. das stimmt dann.
> > >
> > > (1) Wenn ich mir jetzt die Phasenebene ansehe (ich habe ein
> > > Bild vor mir liegen), dann erkennt man periodische
> > > Lösungen doch immer an den geschlossenen Kurven. Ist eine
> > > Kurve in der Phasenebene nicht geschlossen, dann ist die
> > > Lösung der DGL die einen gemeinsamen Punkt mit dieser
> > > Kurve hat, doch auch nicht periodisch oder?
> > >
> > > (2) Anhand des Bildes sieht man, dass die Kurve die durch
> > > den Gleichgewichtspunkt (0,0) geht nicht geschlossen ist.
> > > Inwiefern hängt das jetzt mit u'(t) zusammen? Ich habe ja
> > > nicht immer so eine schöne Phasenebene. Also wie kann ich
> > > jetzt mithilfe von u'(t) sagen, wann eine Lösung
> > > periodisch ist? Gibt es da ein klares Kriterium.. einen
> > > Satz oder wie argumentiert man?
> > >
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> > Hier ein Link dazu:
> >
> Differentialgleichungen - Goethe-Universität
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> > > Grüße, kullinarisch
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> > Gruss
> > MathePower
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Fr 15.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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