Periodische Dezimalzahlen < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also. Wir machen gerade Dezimalzahlen wdh. Wenn man z.B.: 1/7 ausrechnet bekommt man ja 0,(142857) das in der Klammer ist periodisch.
dann kann man ohne großem rechnen auf 4/7 schließen man muss nur aud die erste DezimalZahl kommen.
0,5 und dann kann ich oben ablesen. Also 0,(571428)
bei 17teln klappt das auch. aber bei 13teln klappt es leider nicht. wann geht es und wann nicht. forallem warum würde mich brennend interessieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Also. Wir machen gerade Dezimalzahlen wdh. Wenn man z.B.:
> 1/7 ausrechnet bekommt man ja 0,(142857) das in der Klammer
> ist periodisch.
> dann kann man ohne großem rechnen auf 4/7 schließen
was meinst Du damit ?
> man
> muss nur aud die erste DezimalZahl kommen.
>
> 0,5 und dann kann ich oben ablesen. Also 0,(571428)
Was machst Du da ?
> bei 17teln klappt das auch. aber bei 13teln klappt es
> leider nicht. wann geht es und wann nicht. forallem warum
> würde mich brennend interessieren.
Leider verstehe ich nicht, von was Du sprichst !
FRED
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Hallo Chantal,
ganz so einfach ist das nicht mit den periodischen Dezimalbrüchen.
Du meinst sicherlich, dass die Ziffernfolge bei allen "Siebteln" im Prinzip die gleiche ist, nur eben an anderer Stelle beginnt. Das ist bei vielen Primzahlbrüchen so, aber längst nicht bei allen. Schau Dir mal Elftel an... - oder genausogut: Siebenunddreißigstel. Oder Hundertsiebenundreißigstel.
Es ist also nicht ganz einfach, die Länge einer Periode vorherzusagen. Besonderheiten ergeben sich für den Kehrwert einer Primzahl p (leider nur: fast) sicher, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass [mm] 10^n\pm{1} [/mm] ein Vielfaches von n ist.
So ist $ 7*11*13=1001, [mm] 3^3*37=999, [/mm] 73*137=10001 $ etc.
Gibt es kein solches n passend zu p, dann ist die normale Periodenlänge des Bruchs [mm] \tfrac{1}{p} [/mm] gerade p-1 lang. Wie die 7 zeigt, kann das aber auch dann der Fall sein, wenn es ein solches n gibt. Ich nehme an, dass Du diese Beobachtung bei den Siebzehnteln meintest - Periodenlänge 16.
Du müsstest tiefer in die Zahlentheorie einsteigen, um das genauer bestimmen zu können. Nimm es einfach als eine interessante und manchmal auch wunderbare Eigenschaft der Zahlen.
Übrigens sind die Periodenlängen in anderen Zahlensystemen (z.B. zur Basis 16) natürlich anders als im Dezimalsystem. Auch da kann man noch wundervoll herumspielen. 
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mo 11.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Also. Wir machen gerade Dezimalzahlen wdh. Wenn man z.B.:
> 1/7 ausrechnet bekommt man ja 0,(142857) das in der Klammer
> ist periodisch.
> dann kann man ohne großem rechnen auf 4/7 schließen man
> muss nur aud die erste DezimalZahl kommen.
> 0,5 und dann kann ich oben ablesen. Also 0,(571428)
> bei 17teln klappt das auch. aber bei 13teln klappt es
> leider nicht. wann geht es und wann nicht. forallem warum
> würde mich brennend interessieren.
Hallo,
wenn man eine Dezimalzahl mit 10 multipliziert, verschiebt sich jede Ziffer um eine Kommastelle.
Fangen wir an mit 1/7=0,142857142857...
Dann gilt 10/7=1,42857142857...
Da 10/7 = 1+ 3/7 gilt, ergeben die Nachkommastellen also gerade
3/7=0,42857142857...
Wenn wir das Verzehnfachen kommen wir auf
30/7 = 4 Ganze und 2/7 und mit der Stellenverschiebung auf
30/7=4,2857142857... und somit zu 2/7=4,2857142857...
Verzehnfachung liefert 20/7, wobei der Nachkommaanteil 6/7 entspricht.
Daraus kriegt man 60/7 und somit 4/7.
Daraus kriegt man 40/7 und somit 5/7.
Daraus kriegt man 50/7 und somit 1/7 (und wir sind einmal durch, es geht von vorn los).
Mal sehen, was bei 1/13 anders ist. Wir verzehnfachen wieder und nehmen vom Ergebnis den Nachkommaanteil.
Aus 1/13 wird (mit einer Stelle Verschiebung) 10/13.
Aus 10/13 wird 100/13, wegen 100=7*13+9 ist das 7 Ganze und 9/13,
wir haben also (mit der selben Periode, nur verschoben) bisher 1/13, 10/10 und 9/13.
Daraus kriegen wir 90/13= 6 Ganze und 12/13.
Daraus kriegen wir 120/13= 9 Ganze und 3/13.
Daraus kriegen wir 30/13= 2 Ganze und 4/13.
Daraus kriegen wir 40/13= 1 Ganze und 1/13.
Damit sind wir wieder am Ausgangspunkt.
Wir haben mit den gleichen Zahlen in der Periode Brüche mit den Zählern 1, 10, 9, 12, 3 und 4 erhalten.
Mit dem Startbruch 2/13 einhalten wir eine andere Periode, deren Zahlen dann auch die noch fehlenden Brüche hätten.
Ursache des unterschiedlichen Verhaltens von 7 und 13:
Die Potenzen [mm] 10^1 [/mm] bis [mm] 10^6 [/mm] nehmen mod 7 alle 6 möglichen Reste je einmal an. Der letzte Rest ist dabei die 1 denn [mm] 10^6 \equiv [/mm] 1 mod 7.
Es gilt auch [mm] 10^{12} [/mm] equiv 1 mod 13, allerdings tritt der Rest 1 auch schon bei [mm] 10^6 [/mm] mod 13 auf. Deswegen können sich nur die ersten 6 auftretenden Reste wiederholen.
Gruß Abakus
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Ist zwar nicht zur obigen frage jedoch zu dem gelichen Thema.
Warum kann die Periode eines Bruches in welchem n= Nenner. Die Periode höchstens n-1 sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du durch n dividierst kkönnen die Reste, wenn es nicht auggeht nur die Werte 1,2,....n-1 haben. Spätestens nach n-1 Schritten tritt also ein Rest zum 2 ten mal auf und dann geht es von diesem Rest an wieder los.
Bei 7 etwa gibts 6 verschiedene Reste, die kommen auch alle vor also ist die periode 6, bei 13 wiederholt es sich schon nach 6 also kommen nicht alle vor, bei 11 kommen nur 2 vor usw.
Also maximal n-1 lange Periode, aber eben auch weniger.
Gruss leduart
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