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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 So 03.01.2010 | | Autor: | Equinox |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\begin{cases} -ln|2sin(\bruch{x}{2})|, & \mbox{für } x\not=2k\pi \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=2k\pi \mbox{} \end{cases} [/mm] |
Zu dieser Aufgabe soll nachgewiesen werden das sie [mm] 2\pi-periodisch [/mm] istund gerade. Die Symetrie hab ich mit f(x)=f(-x) nachgewiesen und somit ist sie gerade, aber wie beweise ich das [mm] 2\pi-periodisch?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 So 03.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Eine Funktion $f(x)$ heisst [mm] $2\pi$-periodisch, [/mm] wenn gilt $f(x) = [mm] f(x+2\pi)$ [/mm] für jedes $x$ des Definitionsbereichs.
Schau Dir also mal Dein [mm] $f(x+2\pi)$ [/mm] an und nutze, was Du über den Sinus weisst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:04 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Kann man dann so argumentieren:
[mm] -ln(2sin\bruch{x}{2})
[/mm]
=> [mm] -ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-cos(x)))})
[/mm]
=> [mm] -ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-sin(x+\bruch{\pi}{2}+2\pi))})
[/mm]
=> [mm] -ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-sin(x+\bruch{4\pi}{2}))})
[/mm]
=> f(x) = [mm] -ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-sin(x+2\pi))})
[/mm]
=> [mm] f(x+2\pi) [/mm] = [mm] -ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-sin(x+2\pi))})
[/mm]
Wäre das so ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Equinox,
befolge am besten den Vorschlag von AT-Colt und fange mit [mm]f(x+2\pi)=\begin{cases} \ldots, & \mbox{für } x+2\pi\not= 2k\pi \\ 0, & \mbox{für } x+2\pi=2k\pi \end{cases}[/mm] an.
Wie lässt sich der Ausdruck, den ich mit den drei Pünktchen angedeutet habe, vereinfachen und wie hängt die Aussage [mm]x+2\pi\not= 2k\pi[/mm] mit der Aussage [mm]x\not= 2k\pi[/mm] zusammen (bzw. [mm]x+2\pi= 2k\pi[/mm] mit [mm]x= 2k\pi[/mm] )? Beachte bei dem letzteren, dass mit [mm]x= 2k\pi[/mm] eigentlich gemeint ist, dass es eine ganze Zahl k gibt mit [mm]x= 2k\pi[/mm], und mit [mm]x\not= 2k\pi[/mm], dass [mm]x\not= 2k\pi[/mm] für alle ganzen Zahlen k gilt.
Zu deinem Vorgehen:
> [mm]-ln(2sin\bruch{x}{2})[/mm]
Betragsstriche nicht vergessen.
> => [mm]-ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-cos(x)))})[/mm]
Hier meinst du wohl "=", nicht "=>". Das gilt nicht (und es würde den Ausdruck nur komplizierter machen...). Vermutlich hast du bei dem cos ein Quadrat vergessen und fälschlicherweise irgendwie versucht, das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] aus dem Sinus zu ziehen. Das kann man nicht (und wenn man es könnte, müsste das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] vor der Wurzel stehen).
> => [mm]-ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-sin(x+\bruch{\pi}{2}+2\pi))})[/mm]
Das stimmt (macht allerdings erneut den Ausdruck unnötig komplex).
> => [mm]-ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-sin(x+\bruch{4\pi}{2}))})[/mm]
Hier hast du offensichtlich das [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] unterschlagen.
> => f(x) = [mm]-ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-sin(x+2\pi))})[/mm]
Für [mm]x\not=2k\pi[/mm] folgerichtig.
> => [mm]f(x+2\pi)[/mm] =
> [mm]-ln(2\wurzel{(\bruch{1}{2}(1-sin(x+2\pi))})[/mm]
Warum?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Hallo, also bin so vorgegangen:
[mm] sin(\bruch{x}{2})=\wurzel{\bruch{1}{2}(1-cos(x))} [/mm] das war die erste vereinfachung die mir einfiel, man könnte auch:
[mm] -ln(2sin(\bruch{x}{2}))=-ln(2)-ln(sin(\bruch{x}{2})) [/mm] schreiben aber ob das dann wirklich einfacher ist.
Zu dem Defbereich von x, meinst du damit einfach die Umschreibung in Form von:
[mm] x+2\pi\not=2k\pi [/mm] = [mm] x\not=2\pi(k-1)
[/mm]
[mm] x+2\pi=2k\pi [/mm] = [mm] x=2\pi(k-1)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mo 04.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Eigentlich musst Du garnichts vereinfachen, wenn Du weisst, wie es sich mit dem Sinus und der Periodizität verhält. Was ist denn (für $x [mm] \not= [/mm] 2kpi$)
[mm] $sin\left(\bruch{x+2\pi}{2}\right)$? [/mm]
Und was passiert dann wegen dem Betrag?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Das wäre periodisch mit [mm] -4\pi, [/mm] durch den Betrag also [mm] 4\pi
[/mm]
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Hallo Equinox,
> Das wäre periodisch mit [mm]-4\pi,[/mm] durch den Betrag also [mm]4\pi[/mm]
Ja, sin(x/2) hat die Periode [mm] 4\pi. [/mm] Nützt uns in der Form hier jetzt aber nicht so viel; worauf AT_Colt wahrscheinlich hinauswollte:
Für den oberen Fall, also für [mm] $x\not= 2*k*\pi$ [/mm] gilt:
[mm] $f(x+2*\pi) [/mm] = [mm] -\ln\left|2*\sin\left(\frac{x+2*\pi}{2}\right)\right| [/mm] = [mm] -\ln\left|2*\sin\left(\frac{x}{2} + \pi\right)\right|$
[/mm]
Und nun musst du eben überlegen: Was ist [mm] $\sin(y+\pi)$ [/mm] ? Nun, es gilt nach den Additionstheoremen [mm] $\sin(y+\pi) [/mm] = [mm] -\sin(y)$, [/mm] also kannst du weiter umformen:
$= [mm] -\ln\left|2*(-1)*\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right|$
[/mm]
$= [mm] -\ln\left|2*\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| [/mm] = f(x)$.
Klar?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Ja jetzt ist es klar, gibts dafür eigentlich ein Standartvorgehen, die Regeln waren mir alle bekannt aber die Umsetzung, da hängt es. Kann man immer die Periode einsetzten f(x+P) und umformen bis wieder f(x) rauskommt?
Und was ist im Gegenzug wenn die Periode gesucht wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Mo 04.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Naja, wenn die Funktion P-periodisch ist, sollte man schon immer $f(x+P)$ in $f(x)$ umformen können. Das ist ja die Definition. Ob das leicht oder offensichtlich ist, ist wieder eine andere Frage. Aber meistens hilft es, stur die Definition einzusetzen und erstmal etwas rumzuprobieren.
Wenn die Funktion gegeben und die Periode gesucht ist, ist das eine schwierigere Aufgabe. Wenn die Funktion so nett ist, dass x nur in trigonometrischen Funktionen (oder anderen Funktionen) steckt, deren Periode Du kennst, ist es mit Hinschauen getan. Wenn nicht, könnte man Fouriertransformationen versuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Es haben sich noch 2 Frage zu der Funktion ergeben, und zwar die erste:
Die Nullstelle der Funktion bei [mm] x=\bruch{\pi}{3} [/mm] ist das korrekt? Wenn ja wie kommt man darauf ohne es wissen oder abzulesen? Bin avon ausgegangen das ln(1)=0 ist also muss 2sin(x/2)=1 sein und das heißt sin(x/2)=1/2.
Die andere Frage wäre, welche Unstetigkeit liegt hier vor? Man müsste doch den rechts- und linksseitigen Grentwert bei dem Funktionswert [mm] 2k\pi [/mm] prüfen richtig? Diese stimmen nicht überein und es liegt da ein Sprung der Funktion vor, soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Fr 08.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sprung ist falsch. was ist denn ln(x) für x gegen 0?
wieso stimmen rechts und linksseiteiger GW nicht überein? wa sollen ie sein?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Equinox |
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ln(x) = [mm] -\infty
[/mm]
Wie bezeichnet man das dann, denn stetig ist die Funktion an der stelle ja nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Fr 08.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
normalerweise als Polstelle, oder eben einfachendlicher GW existiert nicht.
Gruss leduart
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Hallo, [mm] x=\bruch{\pi}{3} [/mm] ist EINE Nullstelle, beachte aber die Periode, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Stimmt das wären auch [mm] x=(\bruch{\pi}{3},\bruch{2\pi}{6}\bruch{3\pi}{9}...)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Fr 08.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh ich nicht, das ist doch dreimal dieselbe Nst, nur nicht gekürzt?
sin x etwa hat die Nst [mm] \pm(\pi,2\pi,3\pi,...n*\pi)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Ahhh was hab ich da gemacht, sollte so [mm] aussehen(\bruch{\pi}{6},\bruch{13\pi}{6},\bruch{25\pi}{6}) [/mm] man muss ja immer die Periode dazu zählen also immer [mm] x+2\pi
[/mm]
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Hallo, du hast schon eine Nullstelle deiner Funktion (rot gezeichnet), [mm] \bruch{1}{3}\pi, [/mm] zu untersuchen war [mm] sin(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{2}, [/mm] die Nullstellen sind [mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] und [mm] \bruch{5}{3}\pi, [/mm] die Periode ist ja [mm] 4\pi, [/mm] die halbe Periode ist [mm] 2\pi, [/mm] jetzt kommt der Betrag noch in´s Spiel [mm] |sin(\bruch{x}{2})|=\bruch{1}{2}, [/mm] der Teil der Sinusfunktion, der im negativen Bereich liegt, wird an der x-Achse gespiegelt (grün gezeichnet), somit sind deine Nullstellen
[mm] \bruch{1}{3}\pi+k*2\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ
[/mm]
[mm] \bruch{5}{3}\pi+k*2\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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