Permutation, Potenz < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Fr 28.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Gelten die Potenzregeln auch bei Permutationen?
Sei [mm] \alpha [/mm] eine Zyklus. gilt dann
[mm] \alpha^i \circ \alpha^j [/mm] = [mm] \alpha^{i+j}
[/mm]
oder
[mm] (\alpha^j)^{-1}= \alpha^{-j} [/mm] |
Hallo,
Meine frage hab ich oben beschrieben ;)
LG
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moin,
Permutationen sind (spezielle) Abbildungen. Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie für alle Elemente aus dem Definitionsbereich das gleiche Ergebnis liefern.
Sei also $x [mm] \in \{1,2,\ldots , n\}$ [/mm] beliebig, $i,j [mm] \in \IN$ [/mm] sowie [mm] $\alpha \in S_n$.
[/mm]
Was ist dann [mm] $(\alpha^i \circ \alpha^j)(x)$ [/mm] und was ist [mm] $(\alpha^j)^{-1}(x)$ [/mm] ?
Alternativ kannst du dir das auch mit dem Wissen überlegen, dass [mm] $S_n$ [/mm] mit [mm] $\circ$ [/mm] zu einer Gruppe wird; gelten die beschriebenen Aussagen für beliebige Gruppen/weißt du da schon etwas drüber?
Wenn das alles dir noch nicht so viel sagt, so kannst du dir auch überlegen was die Potenz eines Zykels genau ist; anders als bei allgemeinen Permutationen lässt sie sich hier sehr schön berechnen und angeben.
Wenn du das weißt und auch noch weißt, wie man aus einem Zykel sein Inverses erhält, so kannst du die Aussage auch per Induktion zeigen; im ersten Fall erstmal für ein festes $i$ und alle $j$, dann Induktion nach $i$.
Du siehst es gibt viele Möglichkeiten (es gibt sicher auch noch mehr), also poste am besten mal ein paar eigene Ansätze und erzähle wo genau es schief geht.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:51 Fr 28.12.2012 | | Autor: | sissile |
Danke hab ich verstanden ;)
ich hätte gleich ein Bsp dazu:
Sei n>=3 , [mm] \alpha [/mm] = (1 2 ..n) [mm] \in D_n [/mm] (DIedergruppe), Zeige [mm] <\alpha> \le D_n [/mm] (untergruppe)
Mein versuch:
Sei [mm] \beta, \gamma \in [/mm] < [mm] \alpha>
[/mm]
d.h. [mm] \exists [/mm] s, k mit 0 [mm] \le [/mm] s [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1 : [mm] \beta= \alpha^k, \gamma= \alpha^s
[/mm]
[mm] \beta \circ \gamma^{-1}= \alpha^k \circ (\alpha^s)^{-1}= \alph^k \circ \alpha^{-s}= \alpha^{k-s} \in< \alpha>
[/mm]
da k-s [mm] \in \{0,...,n-1 \}
[/mm]
Ok?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Sa 29.12.2012 | | Autor: | hippias |
Wenn Dir die Potenzgesetze jetzt klar sind, dann ist Dein Beweis an sich in Ordnung. Nur, was machst Du, wenn $k<s$ ist? Ist das ueberhaupt wesentlich?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:53 Sa 29.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo.
Na [mm] \alpha^{-1}= \alpha^{n-1} [/mm] also wäre es egal.
Oder welche Begründung hättest du dir dazu gewünscht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 31.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 30.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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