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Permutation,Transpos.,sgn,...: Korrektur & Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:46 Sa 17.06.2006
Autor: Jennymaus

Aufgabe
Gegeben sei die Permutation
[mm] \delta [/mm] =  (1  2  3 4 5 6  7  8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20)
     (17 3 11 5 4 2 19 12 9 15  7  1 10 18 20 14  8 16  6 13)

(i) Stellen Sie  [mm] \delta [/mm] dar als Produkt von Zyklen.
(ii) Stellen Sie [mm] \delta [/mm] dar als Produkt von Transpositionen.
(iii) Berechnen Sie sgn( [mm] \delta [/mm] ).
(iv) Verechnen Sie ord( [mm] \delta [/mm] ), also die Ordnung von [mm] \delta [/mm] , die kleinste natürliche Zahl k [mm] \ge [/mm] 1, für die [mm] \delta [/mm] ^{k} = Id gilt.

Hallo!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

(i) habe ich bereits gemacht:
[mm] \delta [/mm] = (1, 17, 8, 12) (2, 3, 11, 7, 19, 6) (4, 5) (10, 15, 20, 13)n (14, 18, 16)
Stimmt das so?
Mit (ii), (iii) und (iv) kann ich allerdings nichts anfangen.
Könnte mir denn da evtl jemand erklären, wie das so geht? Also was ich da machen muss und so. Ein Beispiel wäre echt super!

Danke schonmal!

Jenny

        
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Sa 17.06.2006
Autor: Jennymaus

Das n sollte bei meiner Lösung zu (i) da natürlich nicht stehen...war also ein Tippfehler...

Jenny

Bezug
        
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Sa 17.06.2006
Autor: Daywalker220


> Hallo!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> (i) habe ich bereits gemacht:
> = (1, 17, 8, 12) (2, 3, 11, 7, 19, 6) (4, 5) (10, 15, 20, 13)n (14, 18, 16)
> Stimmt das so?

Hab mir nur das erste Zykel angeschaut, das ist okay... Tehcnik also korrekt; Rest kannste also leicht selbst nachrechnen... ;-)

> Mit (ii), (iii) und (iv) kann ich allerdings nichts anfangen.
> Könnte mir denn da evtl jemand erklären, wie das so geht? Also was ich  > da machen muss und so. Ein Beispiel wäre echt super!
>
> Danke schonmal!
>
> Jenny
>

Zu (ii) Transposition sind auch Zykel, nur ganz spezielle. Nämlich welche die nur aus 2 Elementen bestehen. Jedes Zykel kann man als Komposition von Transpositionen schreiben, meine ich...

DAs geht so: ( a b c d e ... x y z ) = ( a b ) ° ( b c ) ° ( c d ) ° ( d e ) ° ... ° ( x y) ° ( y z)
Das machst du für Zykel für Zykel, und fertig :-)

zu (iii) das sgn ist das sogenannte Signum. Und das ist definiert wie folgt:

sgn (Permuation) = [mm] (-1)^{anzahle der Fehlstände} [/mm]

Ein Fehlstand liegt in der PErmutation vor, wenn bei zwei nebeneinader liegenden Zahln der linke größer ist als der rechte... (weiß ncith, wie ich das besser formulieren soll... Am bsten ein Beispiel

Sei folgende Permutation gegeben:

(1 2 3 4 5 6 7)
(4 3 1 6 7 5 2)

1 wäre jetzt ein Fehlstand, weil der Wert für die 1 größer ist als der Wert für die 2               (4>3)
2 wäre auch ein Fehlstand
4 ebenso
5 auch
6 auch

Also wäre sgn = [mm] (-1)^{5}, [/mm] glaube ich... wäre aber gut, wenn ein anderer das noch absegnen könnte...^^ weil ich mich sogut auch cnith mehr erinnere...

zu (iv) kann ich leider nix sagen...


Bezug
                
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Sa 17.06.2006
Autor: Jennymaus

Danke für die Hilfe!

Bei der (ii) schreibe ich also einfach die einzelnen Zyklen aus (i) untereinander auf und nehme die dann in die 2er-Dinger auseinander, ja?
Also so:
(1,17,8,12) = (1,17) (17,8) (8,12)
(2,3,11,7,19,6) = (2,3) (3,11) ...
...

ja?

Und bei (iii) würde also [mm] (-1)^{11} [/mm] rauskommen, oder?

Kann mir bitte noch jemand bei der (iv) helfen?

Jenny

Bezug
                        
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Sa 17.06.2006
Autor: Daywalker220


> Danke für die Hilfe!
>  
> Bei der (ii) schreibe ich also einfach die einzelnen Zyklen
> aus (i) untereinander auf und nehme die dann in die
> 2er-Dinger auseinander, ja?
>  Also so:
>  (1,17,8,12) = (1,17) (17,8) (8,12)
>  (2,3,11,7,19,6) = (2,3) (3,11) ...
>  ...
>  
> ja?

ja, würde ich schon sagen...

>  
> Und bei (iii) würde also [mm](-1)^{11}[/mm] rauskommen, oder?

hab auch 11 gezählt, also ich denke schon richtig :-)

>  
> Kann mir bitte noch jemand bei der (iv) helfen?
>  
> Jenny

Irgendwer kann dir bei 4 bestimmt helfen...

Gruß, Fabian...


Bezug
                                
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: sgn der Permutation...
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:54 So 16.07.2006
Autor: Jennymaus

Hallo!

Laut Übungsleiter ist [mm] sgn=(-1)^{14} [/mm]

Wie kommt man denn darauf? Ich komme nämlich nach der Erklärung nur auf [mm] (-1)^{11} [/mm] und die Person, die es mir erklärt hatte ja auch...
Hoffe, dass mir schnell jm hilft...

DANKE!

Jennymaus

Bezug
                                        
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 18.07.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Sa 17.06.2006
Autor: piet.t

Hallo Jenny,

dann will ich mich mal an der iv) versuchen....

Erst nochmal zur Klärung von "Ordnung": Wenn ich eine Permutation einer endlichen Menge mehrmals nacheinander ausführe kann es sein, dass irgendwann einmal alle Elemente wieder an ihrem alten Platz stehen, die Mehrfachausführung also gleich der Identität ist. Die kleinste Zahl, bei der das passiert ist die Ordnung des Elements.

Für eine Vertauschung ist das recht einfach: (1 2) [mm] \circ [/mm] (1 2) = (1) (2), also die Identität. Also ist die Ordnung von (1 2) gleich 2.

Jetzt mal ein paar Schritte in Richtung auf die Lösung der Aufgabe, wir betrachten die Zyklenschreibweise von [mm] \delta. [/mm]
- Wie groß ist die Ordnung eines einzelnen Zyklus? Das läßßt sich relativ leicht sehen, wenn man sich mal klarmacht was die zyklische Vertauschung bedeutet. (Tipp: die Ordnung hängt nur von der Länge des Zyklus ab).
- Warum kann ich erstmal jeden Zyklus isoliert betrachten (Hinweis: elementfremde Zyklen kommutieren)?
- Wenn ich jetzt also die einzelnen Odrnungen habe, wie komme ich dann auf die Ordnung der gesamten Permutation? (Dann müssen ja alle Zyklen gleichzeitig zur Identität werden!)

Kommst Du damit ein Stück weiter?

Gruß

piet


Bezug
                                
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Sa 17.06.2006
Autor: Jennymaus

Also ich glaube, ich hab es verstanden...

Wäre die (iv) so richtig:

sgn( [mm] \delta)=kgV(4,6,2,1,4,3) [/mm] = 12

Jenny

Bezug
                                        
Bezug
Permutation,Transpos.,sgn,...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Sa 17.06.2006
Autor: piet.t


> Also ich glaube, ich hab es verstanden...
>  
> Wäre die (iv) so richtig:
>  
> sgn( [mm]\delta)=kgV(4,6,2,1,4,3)[/mm] = 12

Wenn da jetzt statt sgn noch ord steht ist das genau mein Ergebnis [ok]


>  
> Jenny


Gruß

piet

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