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Forum "Kombinatorik" - Permutation mit Wiederholungen
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Permutation mit Wiederholungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Mo 27.02.2006
Autor: keinMatheAS

Aufgabe
Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, alle Buchstaben des Wortes ANAGRAMM in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen. In diesem Wort kommen bestimmte Buchstaben mehrfach vor.
Anzahl aller Buchstaben: N=8
Häufigkeit einzelner Buchstaben:
k1 = A = 3
k2 = G = 1
k3 = N = 1
k4 = M = 2
k5 = R = 1
A =  8!/(3!*1!*1!*2!*1!) = 8!/(3!*2!) = 40320/12 = 3360

Alle ihr Lieben...
keinMatheAs begrüßt euch ganz lieb und wartet mit folgender Frage auf :-)

seir kurzem befasse ich mich mit "Permutation mit Wiederholungen" und habe dazu im Internet folgendes Beispiel gefunden...
Die Lösung ist bereits vorgegeben und die Gleichung leuchtet mir ein...
Meine Frage lautet:
Wie gelange ich zu dem Ergebnis von 3360 ?
Es steht zwar eine Gleichung dort, aber ich weiß nicht, welche Zahl mit welcher multipliziert bzw. dividiert wird und woraus die 12 berechnet wurde, damit ich schlussendlich das Erebnis von 3360 herausbekomme.

Über eine Antwort, die ich auch verstehe, wäre ich euch sehr verbunden :-)
vielen Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Permutation mit Wiederholungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Mo 27.02.2006
Autor: Astrid

Hallo keinMathAS, :-)

[willkommenmr]!

>  A =  8!/(3!*1!*1!*2!*1!) = 8!/(3!*2!)

bis hier ist dir dir Lösung klar?

Wir wollen also berechnen:

[mm]A=\bruch{8!}{3!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 2!\cdot 1!}=\bruch{8!}{3! \cdot 2!}[/mm]

Nun, wichtig ist die Definition:

[mm]n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ... \cdot 3\cdot 2\cdot 1[/mm]

Also:

[mm]\bruch{8!}{3! \cdot 2!}=\bruch{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1)}=\bruch{40320}{12}[/mm]

Dein Taschenrechner sollte aber die Funktion "Fakultät"="!" haben! Damit kannst du [mm]8![/mm] usw. ganz einfach berechnen.

Viele Grüße
Astrid
Bezug
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