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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Sa 24.09.2011 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | Wir betrachten das Schiebespiel auf einem 4 mal 4 Spielfeld mit 15 Steinen und einem leeren Feld. Es ist erlaubt einen benachbarten Stein auf das leere Feld zu schieben. Bei folgender Ausgangssituation ist es möglich entweder den Stein 12 oder den Stein 14 auf das leere Feld zu schieben.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 15 14 (leer)
Ist es möglich die obige Ausgangssituation auf folgende Stellung zu bringen?
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 (leer)
Geben Sie falls möglich eine Lösung an oder argumentieren Sie anderenfalls warum keine Lösung existiert.
Hinweis: Betrachte die Verschiebung eines Plättchens als Permutation in [mm] $S_{16}$. [/mm] Was gilt für die Anzahl der für eine Lösung nötigen Schritte? |
hallo!
ich hoffe, dass ich diese aufgabe nun richtig habe:
sei die Ausgangssituation [mm] $P\in S_{16}$, [/mm] dann ist in zykelschreibweise P=(14 15) eine transposition. das zweite bild wäre dann ide identität.
wenn man das leere feld an einen anderen punkt bringen will muss und es hinterher wieder auf feld 16 haben will, müssen eine gerade anzanhl von zügen gemacht werden. das entspricht (als permutation dargestellt) einer geraden anzahl von transpositionen. wenn man allerdings eine gerade anzahl von transpositionen miteinander verknüpft, erhält man eine permutation mit positivem vorzeichen. außerdem müsste für so eine permutation [mm] $A\in S_{16}$ [/mm] gelten: [mm] $A\circ [/mm] P= id$ oder [mm] $P\circ [/mm] A=id$ das geht aber nicht da [mm] $sgn(A\circ P)=sgn(P\circ [/mm] A)=-1$ und das vorzeichen von id positiv ist. also lässt sich bild 1 in bild 2 nicht überführen wenn man die regeln des schiebespiels befolgen muss...
ist diese argumentation so richtig?
lg
flo
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin flo,
Das sieht gut so aus. ;)
Du müsstest nur vielleicht nochmal kurz sagen wieso man immer eine gerades Signum hat, wenn die Lücke wieder auf der 16 sein soll.
Das ist nicht sehr schwer zu belegen, aber ob du es voraussetzen kannst ist eine andere Frage.^^
MfG
Schadowmaster
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