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| Aufgabe | 24 Athleten sollen für einen Triathlon in 3 Gruppen, Laufen,
Schwimmen und Radfahren, zu jeweils 8 Athleten eingeteilt werden.
Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es dafür?
Lösung:
Wähle A = {*L, ... , L, S, ... , S, R, ... ,R*} mit k = 24 Elementen und
Häufigkeiten [mm] k_{L} [/mm] = [mm] k_{S} [/mm] = [mm] k_{R} [/mm] = 8.
Dann ergibt jede Anordnung von A eine Einteilung der Athleten
[mm] A_{1}, [/mm] ... [mm] ,A_{k}, [/mm] z.B.:
[mm] \pmat{ A_{1} & A_{2} & A_{3} & ... & A_{k}\\ L & R & L & ... & S }
[/mm]
Es gibt 24!/8!8!8! = 9465511770 Anordnungen von A: |
Hallo,
ich habe Probleme beim Verstaendnis dieser Aufgabe.
Wie kommt man auf den Nenner?
Formel fuer k-Permutationen ist n!/(n-k)!
Es handelt sich bei A uebrigens um eine
Multimenge = Menge mit nicht notwendigerweise verschiedenen Elementen.
Daher auch die Notation (geschweifte Klammer mit Stern).
Gruss
mathlooser
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Hallo mathlooser mit dem überflüssigen o,
das Stichwort heißt Multinomialverteilung bzw. -koeffizient. Schlag das mal nach.
Man kann es sich aber auch über die Binomialkoeffizienten herleiten.
Dann gibt es [mm] \vektor{24\\8}*\vektor{16\\8}*\vektor{8\\8} [/mm] Möglichkeiten. Überleg Dir den Grund für jeden der Faktoren und rechne dann nach.
Achtung, korrigiert - siehe die beiden folgenden Mitteilungen von tobit09 und von mir.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 18.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo reverend!
> Man kann es sich aber auch über die Binomialkoeffizienten
> herleiten.
>
> Dann gibt es
> [mm]\vektor{24\\8}*\vektor{16\\8}*\vektor{8\\8}*\br{1}{3!}[/mm]
> Möglichkeiten.
Wenn ich gerade kein Brett vor dem Kopf habe, müsste der Faktor [mm] $\frac1{3!}$ [/mm] am Ende ersatzlos entfallen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Di 18.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Tobias,
> Wenn ich gerade kein Brett vor dem Kopf habe, müsste der
> Faktor [mm]\frac1{3!}[/mm] am Ende ersatzlos entfallen.
Du hast Recht, da war ein Brett zwischen uns. Nur hing es auf meiner Seite. Ich editiere den Artikel.
Der Faktor wäre nötig, wenn es auf die Reihenfolge der Gruppen ankäme, sonst nicht.
Auch von mir ein Danke fürs Aufpassen!
lg
rev
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Hallo reverend,
danke fuer deine Antwort.
[mm] \vektor{24 \\ 8} [/mm] entspricht der Anzahl aller 8-Elementigen Mengen aus A. Dabei spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle, hauptsache die "ausgesuchten" / "rausgepickten" Elemente aus A sind unterschiedlich.
Mit unterschiedlich ist gemeint es darf nicht dasselbe Element sein, schon aber das gleiche. Ist das so korrekt?
> Dann gibt es $ [mm] \vektor{24\\8}\cdot{}\vektor{16\\8}\cdot{}\vektor{8\\8} [/mm] $
Die Anzahl fuer irgendeine 8-El. Menge aus A betraegt [mm] \vektor{24 \\ 8}, [/mm] somit waere die Anzahl fuer eine Gruppe gebildet, fehlen noch die restlichen beiden. A wird um 8 bel El reduziert (es entsteht A*) die Anzahl fuer 8-El. Mengen aus A* betraegt [mm] \vektor{16 \\ 8} [/mm] usw. Anschliessend werden die Anzahlen multipliziert.
Warum die Anzahlen multipliziert werden ist mir noch nicht ganz klar.
Ich habe den Begriff Multinomialverteilung nachgeschlagen, werde ich mir auch nochmal genauer ansehen.
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 20.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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