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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:57 Mo 06.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Eine Transposition ist eine Permutation aus Sn, bei der zwei verschiedene, fest gewählte Zahlen i, k ∈ {1, 2, · · · , n} vertauscht werden, während alle anderen Zahlen fest bleiben. Man schreibt für diese Transposition auch kurz (i, k).
a) Schreiben Sie σ_{1} und σ_{2} als Produkt von Transpositionen und bestimmen Sie sign(σ_{1}) und sign(σ_{2})
sowie die Fehlstände von σ_{1} und σ_{2}, wobei
σ_{1} = [mm] \pmat{ 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ 2 & 3 & ... & n & 1 }
[/mm]
, σ_{2} = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 6 & 3 & 2 & 1 }
[/mm]
b) Schreiben Sie für den Fall n = 6 und σ_{1}, σ_{2} aus Teil (a) die Permutationen σ_{1}σ_{2} und σ_{2}σ_{1} als Produkt elementfremder Zykel. |
a) Produkt von Transpositionen
σ_{1}= [mm] \pmat{ 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ 2 & 3 & ... & n & 1 } [/mm] = (2 3 ... n 1) = (2 3) (3 4) ... (n-1 n) (n 1)
σ_{2} = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 6 & 3 & 2 & 1 } [/mm] = (1 5 2 4 3 6) = (1 5) (5 2) (2 4) (4 3) (3 6)
Fehlstände
σ_{1}
1 hat n Fehlstände
2 hat n-1 Fehlstände
...
n hat 0 Fehlstände
sign(σ_{1})= ?
σ_{2} hat 13 Fehlstände also sign(σ_{2}) = -1
b)
σ_{1}= (1 2 3 4 5 6)
σ_{2}= (1 5 2 4 3 6)
σ_{1}*σ_{2}=(6 5 1 4 3 2)
σ_{2}*σ_{1}=(4 6 3 2 1 5)
Könnte mir jemand sagen ob meine Ansätze richtig sind?
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Di 07.07.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Eine Transposition ist eine Permutation aus Sn, bei der
> zwei verschiedene, fest gewählte Zahlen i, k ∈ {1, 2, ·
> · · , n} vertauscht werden, während alle anderen Zahlen
> fest bleiben. Man schreibt für diese Transposition auch
> kurz (i, k).
>
> a) Schreiben Sie σ_{1} und σ_{2} als Produkt von
> Transpositionen und bestimmen Sie sign(σ_{1}) und
> sign(σ_{2})
> sowie die Fehlstände von σ_{1} und σ_{2}, wobei
>
> σ_{1} = [mm]\pmat{ 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ 2 & 3 & ... & n & 1 }[/mm]
>
> , σ_{2} = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 6 & 3 & 2 & 1 }[/mm]
>
>
>
> b) Schreiben Sie für den Fall n = 6 und σ_{1}, σ_{2} aus
> Teil (a) die Permutationen σ_{1}σ_{2} und σ_{2}σ_{1}
> als Produkt elementfremder Zykel.
>
>
> a) Produkt von Transpositionen
> σ_{1}= [mm]\pmat{ 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ 2 & 3 & ... & n & 1 }[/mm]
> = (2 3 ... n 1) = (2 3) (3 4) ... (n-1 n) (n 1)
Ob das so geht?
> σ_{2} = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 6 & 3 & 2 & 1 }[/mm]
> = (1 5 2 4 3 6) = (1 5) (5 2) (2 4) (4 3) (3 6)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Fehlstände
> σ_{1}
> 1 hat n Fehlstände
1 hat n-1 Fehlstände
> 2 hat n-1 Fehlstände
2 hat 0 Fehlstände
> ...
u.s.w. bis
> n hat 0 Fehlstände
insgesamt n-1 Fehlstände
> sign(σ_{1})= ?
[mm] $\mbox{sign}(\sigma \_\{1\}) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & n \mbox{ ungerade} \\ -1, & n \mbox{ gerade} \end{cases}$
[/mm]
>
>
> σ_{2} hat 13 Fehlstände also sign(σ_{2}) = -1
>
> b)
> σ_{1}= (1 2 3 4 5 6)
> σ_{2}= (1 5 2 4 3 6)
>
> σ_{1}*σ_{2}=(6 5 1 4 3 2)
> σ_{2}*σ_{1}=(4 6 3 2 1 5)
>
> Könnte mir jemand sagen ob meine Ansätze richtig sind?
> Danke im voraus!
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Mi 08.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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