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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 23.09.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Wieviele Buchstaben kann man aus E,H,I,R,S,W aufstellen, die weder WIR, IHR oder SIE erhalten? Also z.B. RSEWIH, aber nicht RSWIHE. |
Da man offenbar (nicht) Worte wie WSIEHR bilden darf (hier kommt sowohl IHR als auch WIR vor, jedoch mit einem gemeinsamen I), ist hier (auf indirekten Wege) Inklusion-Exklusion anzuwenden.
Repräsentativerweise sei [mm] $T_{WIR}$ [/mm] die Menge aller Worte, wo ein Wir zu erkennen ist. Nun gilt:
[mm] $|T_{WIR}\cup T_{IHR} \cup T_{SIE} [/mm] | = [mm] |T_{WIR}|+|T_{IHR}| [/mm] + [mm] |T_{SIE}| [/mm] - [mm] |T_{WIR}\cap T_{IHR}| -|T_{WIR} \cap T_{SIE} [/mm] | - [mm] |T_{IHR} \cap T_{SIE}|$ [/mm] $- [mm] |T_{WIR} \cap T_{SIE}| [/mm] - [mm] |T_{IHR} \cap T_{SIE}| [/mm] + [mm] |T_{WIR} \cap T_{IHR} \cap T_{SIE} [/mm] | $
So, die ersten vier Mengen sind ja noch reicht einfach:
Wenn wir beispielsweise nur an das "Wir" denken, dann sehen wir, dass sowohl das W als auch das I als auch das R an vier verschiedenen Stellen sein kann. Also gilt:
[mm] $|T_{SIE}| [/mm] = [mm] |T_{WIR}| [/mm] = [mm] |T_{SIE}| [/mm] = [mm] 4^3$ [/mm]
so, jetzt wird es schwieriger, jetzt muss ich mir überlegen, wie oft IHR und SIE GLEICHZEITIG vorkommen kann. Da ersichtlich die beiden Worte sich einen Buchstaben teilen, kann man leicht etwas übersehen, wenn man rechnet. Daher sehe ich als einzig in Frage kommende Lösungsmethode pures (eher stupides) Ausprobieren. Letzteres ist aber keine Mathematik. Sieht hier also jemand ein System, wie man man das besagte elegant ermitteln kann. Ich sehe jedenfalls momentan nicht den abstraktest (d.h. einfachst) möglichen Zugang...
Sieht hier also jemand eine Strategie, wie man dies auf mathematischen Wege angehen könnte?
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Hallo clemenum,
das sieht nicht so schwierig aus.
> Wieviele Buchstaben kann man aus E,H,I,R,S,W aufstellen,
> die weder WIR, IHR oder SIE erhalten? Also z.B. RSEWIH,
> aber nicht RSWIHE.
Naja, das ist eine recht weite Deutung von "enthalten", aber wenn das die Aufgabe ist...
> Da man offenbar (nicht) Worte wie WSIEHR bilden darf (hier
> kommt sowohl IHR als auch WIR vor, jedoch mit einem
> gemeinsamen I), ist hier (auf indirekten Wege)
> Inklusion-Exklusion anzuwenden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Repräsentativerweise sei [mm]T_{WIR}[/mm] die Menge aller Worte, wo
> ein Wir zu erkennen ist. Nun gilt:
>
> [mm] |T_{WIR}\cup T_{IHR} \cup T_{SIE} | = |T_{WIR}|+|T_{IHR}| + |T_{SIE}| - |T_{WIR}\cap T_{IHR}| -|T_{WIR} \cap T_{SIE} | - |T_{IHR} \cap T_{SIE}| \blue{- |T_{WIR} \cap T_{SIE}| - |T_{IHR} \cap T_{SIE}|} + |T_{WIR} \cap T_{IHR} \cap T_{SIE} |[/mm]
Wieso stehen die beiden blauen Terme doppelt da? Ist das nur ein Eingabefehler?
> So, die ersten vier Mengen sind ja noch reicht einfach:
> Wenn wir beispielsweise nur an das "Wir" denken, dann
> sehen wir, dass sowohl das W als auch das I als auch das R
> an vier verschiedenen Stellen sein kann. Also gilt:
> [mm]|T_{SIE}| = |T_{WIR}| = |T_{SIE}| = 4^3[/mm]
Das stimmt nicht. Schau Dir mal folgende Liste an:
SIExxx
SIxExx
SxIExx
xSIExx
SIxxEx
SxIxEx
SxxIEx
xSIxEx
xSxIEx
xxSIEx
SIxxxE
SxIxxE
SxxIxE
SxxxIE
xSIxxE
xSxIxE
xSxxIE
xxSIxE
xxSxIE
xxxSIE
20 Einträge à 6 Möglichkeiten. Also jeweils 120.
Allgemein: Wenn die Buchstabenfolge SIE "enthalten" ist und n weitere (verschiedene) Buchstaben dazukommen, gibt es [mm] \vektor{n+3\\3}*n!=\bruch{1}{6}(n+3)! [/mm] mögliche Anordnungen.
> so, jetzt wird es schwieriger, jetzt muss ich mir
> überlegen, wie oft IHR und SIE GLEICHZEITIG vorkommen
> kann. Da ersichtlich die beiden Worte sich einen Buchstaben
> teilen, kann man leicht etwas übersehen, wenn man rechnet.
> Daher sehe ich als einzig in Frage kommende Lösungsmethode
> pures (eher stupides) Ausprobieren. Letzteres ist aber
> keine Mathematik. Sieht hier also jemand ein System, wie
> man man das besagte elegant ermitteln kann. Ich sehe
> jedenfalls momentan nicht den abstraktest (d.h. einfachst)
> möglichen Zugang...
>
> Sieht hier also jemand eine Strategie, wie man dies auf
> mathematischen Wege angehen könnte?
Ja. Das S muss vor dem I stehen, also kommt das Wort SIHR vor. Das E muss nach dem E stehen, dafür gibt es drei Möglichkeiten: SIEHR, SIHER, SIHRE. Das fehlende W kann an je 6 Stellen stehen - insgesamt also 18 solche Wörter.
IHR und WIR: W vor I, also WIHR. Bleiben SE, [mm] \vektor{4+2\\2}*2!=30 [/mm] Wörter.
SIE und WIR: S und W vor dem I, E und R danach, also 2*2 fünfbuchstabige Wörter (Liste: SWIER, SWIRE, WSIER, WSIRE), jeweils 6 Möglichkeiten für das fehlende H, also 24 Wörter.
SIE, IHR und WIR ist auch nicht schwierig.
Das lasse ich Dir mal. Die Lösung ist dort 6.
Insgesamt also 3*120-18-30-24+6=294 Wörter, die WIR, IHR oder SIE beinhalten.
Übrigens lässt sich die Vorgehensweise leicht auf eine längere Buchstabenliste erweitern. Hier ist die Liste so kurz, dass man in der Tat von Hand fast schneller fertig wäre. 
Grüße
reverend
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