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Permutationen MATHEMATIK: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 So 18.12.2011
Autor: honklsponk

Aufgabe
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben des Worts MATHEMATIK so anzuordnen, dass nicht zwei gleiche Buchstaben aufeinanderfolgen?

Hallo zusammen,

ich brauche einen Denkanstoss für diese Aufgabe.

Soweit bin ich bis jetzt:

Insgesamt gibt es [mm] $\bruch{10!}{2!*2!*2!}$ [/mm] mögliche Anordnungen, da die Buchstabe A, M und T jeweils doppelt vorkommen.

Und jetzt muss ich ja sämtliche Möglichkeiten abziehen, in denen identische Buchstaben direkt hintereinander auftreten. Also 3 identische, 2 identische und 1 identischer Buchstabe.

a) Es treten die Buchstaben A, M und T jeweils hintereinanderfolgend auf. Hierfür gibt es $7!$ Möglichkeiten.

b) Es treten zweimalig jeweils zwei identische Buchstaben nacheinander auf. Für die Buchstaben A und M gibt es hierfür [mm] $\bruch{8!}{2!}$ [/mm] Möglichkeiten, abzüglich der Möglichkeiten aus a). Also [mm] $\bruch{8!}{2!} [/mm] - 7!$ Möglichkeiten. Für die Buchstaben A und T, bzw. M und T gilt das gleiche. Also insgesamt $3* [mm] (\bruch{8!}{2!} [/mm] - 7!)$ Möglichkeiten für jeweils 2 identische aufeinanderfolgende Buchstaben.

c) Es treten einmalig jeweils zwei identische Buchstaben nacheinander auf. Für den Buchstaben A gibt es insgesamt [mm] $\bruch{9!}{2!*2!}$ [/mm] Möglichkeiten, abzüglich a) und $2* [mm] (\bruch{8!}{2!} [/mm] - 7!)$ (wg. b)). Das gilt für alle drei Buchstaben, also $3(* [mm] \bruch{9!}{2!*2!} [/mm] - 7! - 2* [mm] (\bruch{8!}{2!} [/mm] - 7!))$

Meine gesuchten Möglichkeiten sind dann [mm] $\bruch{10!}{2!*2!*2!}$ [/mm] abzüglich meiner Teilergebnisse aus a, b und c.

Stimmt das soweit, oder bin ich damit total auf dem Holzweg?

Vielen Dank für eure Hilfe!!!



        
Bezug
Permutationen MATHEMATIK: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 So 18.12.2011
Autor: MathePower

Hallo honklsponk,

> Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben des Worts
> MATHEMATIK so anzuordnen, dass nicht zwei gleiche
> Buchstaben aufeinanderfolgen?
>  Hallo zusammen,
>  
> ich brauche einen Denkanstoss für diese Aufgabe.
>
> Soweit bin ich bis jetzt:
>  
> Insgesamt gibt es [mm]\bruch{10!}{2!*2!*2!}[/mm] mögliche
> Anordnungen, da die Buchstabe A, M und T jeweils doppelt
> vorkommen.
>  
> Und jetzt muss ich ja sämtliche Möglichkeiten abziehen,
> in denen identische Buchstaben direkt hintereinander
> auftreten. Also 3 identische, 2 identische und 1
> identischer Buchstabe.
>  
> a) Es treten die Buchstaben A, M und T jeweils
> hintereinanderfolgend auf. Hierfür gibt es [mm]7![/mm]
> Möglichkeiten.
>  
> b) Es treten zweimalig jeweils zwei identische Buchstaben
> nacheinander auf. Für die Buchstaben A und M gibt es
> hierfür [mm]\bruch{8!}{2!}[/mm] Möglichkeiten, abzüglich der
> Möglichkeiten aus a). Also [mm]\bruch{8!}{2!} - 7![/mm]
> Möglichkeiten. Für die Buchstaben A und T, bzw. M und T
> gilt das gleiche. Also insgesamt [mm]3* (\bruch{8!}{2!} - 7!)[/mm]
> Möglichkeiten für jeweils 2 identische
> aufeinanderfolgende Buchstaben.
>  
> c) Es treten einmalig jeweils zwei identische Buchstaben
> nacheinander auf. Für den Buchstaben A gibt es insgesamt
> [mm]\bruch{9!}{2!*2!}[/mm] Möglichkeiten, abzüglich a) und [mm]2* (\bruch{8!}{2!} - 7!)[/mm]
> (wg. b)). Das gilt für alle drei Buchstaben, also [mm]3(* \bruch{9!}{2!*2!} - 7! - 2* (\bruch{8!}{2!} - 7!))[/mm]
>  
> Meine gesuchten Möglichkeiten sind dann
> [mm]\bruch{10!}{2!*2!*2!}[/mm] abzüglich meiner Teilergebnisse aus
> a, b und c.
>  
> Stimmt das soweit, oder bin ich damit total auf dem
> Holzweg?
>  


Du musst hier nur die Möglichkeiten unter a) abziehen.

Um das zu begründen, kannst Du die Elemente gruppieren:

[mm]\left(MM\right), \ \left(AA\right),\ \left(TT\right),\ \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), \ \left(K\right)[/mm]

Und diese gruppierten Elemente kannst Du auf 7! Arten anordnen.



> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
>  

>


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Permutationen MATHEMATIK: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Mo 19.12.2011
Autor: honklsponk

Hallo mathepower,

danke für deine Hilfe.

In diesem Fall: $ [mm] \left(MM\right), [/mm] \ [mm] \left(AA\right),\ \left(TT\right),\ \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), [/mm] \ [mm] \left(K\right) [/mm] $ ist aber doch nicht berücksichtigt, dass beispielsweise A und A und T und T an unterschiedlichen Positionen auftreten könnten.

Also: $ [mm] \left(MM\right), [/mm] \ [mm] \left(T\right), \left(A\right), \left(T\right), \left(A\right), \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), [/mm] \ [mm] \left(K\right) [/mm] $

Es reicht ja, wenn zwei identische Buchstaben aufeinanderfolgen und das wäre hier ja auch der Fall.

Gruß
honklsponk



Bezug
                        
Bezug
Permutationen MATHEMATIK: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Mo 19.12.2011
Autor: MathePower

Hallo honklsponk,

> Hallo mathepower,
>  
> danke für deine Hilfe.
>
> In diesem Fall: [mm]\left(MM\right), \ \left(AA\right),\ \left(TT\right),\ \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), \ \left(K\right)[/mm]
> ist aber doch nicht berücksichtigt, dass beispielsweise A
> und A und T und T an unterschiedlichen Positionen auftreten
> könnten.
>  
> Also: [mm]\left(MM\right), \ \left(T\right), \left(A\right), \left(T\right), \left(A\right), \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), \ \left(K\right)[/mm]
>
> Es reicht ja, wenn zwei identische Buchstaben
> aufeinanderfolgen und das wäre hier ja auch der Fall.
>  


Da hast Du recht.

Zerlege doch das Problem in kleinere Teilprobleme:

Betrache "MMAATTHEIK".

Folgen z.B die beiden M's aufeinander, so gibt es dafür 9*#AATTHEIK. Möglichkeiten.

Folgen sie nicht aufeinander so ergeben sich [mm]\bruch{10!}{\left(2!\right)^{3}}-9*\#AATTHEIK[/mm]  Möglichkeiten

Betrachte als nächstes "AATTHEIK"

Folgen die beiden A's aufeinander, so gibt es 7*#TTHEIK  Möglichkeiten.

Folgen sie nicht aufeinander so ergeben sich [mm]\bruch{8!}{\left(2!\right)^{2}}-7* \#TTHEIK[/mm]  Möglichkeiten


Betrachte dann "TTHEIK".


> Gruß
>  honklsponk
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
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