Permutationen berechnen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 Sa 29.12.2012 | | Autor: | gu75yey |
| Aufgabe | Es seien die beiden Permutationen p1 = (3 7 4 8) und p2 = (8 12 9 11) Elemente der Gruppe S12.
Aufgabe: Bestimme eine Permutation p3 aus S12, für die gilt: p3*p1*p3^-1 = p2. |
Ich habe schon alles Mögliche versucht. Ich weiß, wie man Permutationen hintereinander ausführt (multipliziert), ich habe die obige Gleichung versucht umzuformen, aber ich komme nicht weiter, ich kann p3 einfach nicht bestimmen. Meine Umformungen (jeweils mit Schrägstrich angefügt) waren:
[mm] p_{3}*p_{1}*p_{3}^{-1} [/mm] = [mm] p_{2} /*p_{3}
[/mm]
[mm] p_{3}*p_{1} [/mm] = [mm] p_{2}*p_{3} /*p_{1}^{-1}
[/mm]
[mm] p_{3} [/mm] = [mm] p_{2}*p_{3}*p_{1}^{-1} /*p_{3}^{-1}
[/mm]
id = [mm] p_{2}*p_{3}*p_{1}^{-1}*p_{3}^{-1} [/mm]
Ich komme einfach nicht drauf, wie ich p3 bestimmen kann.... Diese Aufgabe lässt mich einfach nicht los - da muss es doch irgend einen Trick geben... So schwer kann das doch nicht sein?! ;-P
Würde mich über eure Hilfe freuen!!
Dankeschön!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:59 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
hilft es dir, wenn du berücksichtigst, dass nicht die, sondern lediglich eine solche Permutation [mm] p_3 [/mm] gesucht ist ?
Tatsächlich gibt es mehrere Möglichkeiten für [mm] p_3, [/mm] ein (eindeutiges) Auflösen ist also gar nicht möglich.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Sa 29.12.2012 | | Autor: | gu75yey |
Hi,
danke für deine Antwort!!
Ich dachte mir schon, dass es wahrscheinlich mehrere Lösungen gibt!
EINE solche Permutation p3 würde mir schon genügen, aber wie finde ich die?? Ich krieg das leider nicht hin...
Danke schon mal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
(je nach dem, in welcher Reihenfolge die Multiplikation * zu lesen ist, bestimmen wir jetzt [mm] p_3 [/mm] oder [mm] p_3^{-1}, [/mm] ich lasse den Index 3 also einfach mal weg)
Es ist doch
p: 12 [mm] \mapsto [/mm] a , [mm] p_1 [/mm] : a [mm] \mapsto [/mm] b , [mm] p^{-1} [/mm] : b [mm] \mapsto [/mm] 9
p: 9 [mm] \mapsto [/mm] b , [mm] p_1 [/mm] : b [mm] \mapsto [/mm] c , [mm] p^{-1} [/mm] : c [mm] \mapsto [/mm] 11
...
Setze das mal fort, mache dann eine Annahme für a und du hast eine mögliche Permutation p.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 03:05 So 30.12.2012 | | Autor: | gu75yey |
Hi Sax,
vielen Dank für die schnelle Antwort!! Ich hatte immer gehofft, dass man das doch allgemein berechnen können müsste, daher meine Umstellungsversuche!
Aber man muss es halt "umständlich per Hand" bestimmen, und dank deines Hinweises habe ich sofort mehrere Beispiele für p bzw. [mm] p^{-1} [/mm] gefunden!!
Suuuuper, jetzt bin ich happy!
Dabei habe ich aber folgendes festgestellt: alle Beispiele für p, die ich fand, sind selbstinverse Permutationen! Fand ich spannend, das hätte ich nun nicht erwartet. Ob dieses Rechenbeispiel nur von Selbstinversen erfüllt wird??
Was meinst du?
Danke schon mal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:10 So 30.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
was hast du denn gefunden ?
Meine Beispiele, etwa p = (12 8 4)(3 9)(11 7) sind alle nicht selbstinvers.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:57 So 30.12.2012 | | Autor: | gu75yey |
Hi,
ich habe z.B. gefunden: (3 12) (4 11) (7 9) . Die ist selbstinvers.
Ist ja schon interessant, dass du nur nicht Selbstinverse gefunden hast.
*grübel*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 30.12.2012 | | Autor: | gu75yey |
Hi Sax,
ich weiß, dass Sonntag ist, aber diese Aufgabe lässt mich einfach nicht los, daher muss ich jetzt noch mal ausführlich antworten in der Hoffnung, dass du mich "erhellen" kannst:
1. Ich hatte mich bei meinen Ergebnissen verrechnet und habe nur ein wirkliches Ergebnis gefunden, nämlich die selbstinverse Permutation
p = (3 12) (4 11) (7 9) . Die anderen stimmten nicht.
2. Ich bin aber an sich (zumindest was 3 Einträge angeht) willkürlich (= zufällig) auf diese gekommen, hier der Weg:
Schritt (1) Algorithmus der Verknüpfungen durchführen:
p: 12 [mm] \mapsto [/mm] a , p1: a [mm] \mapsto [/mm] b , [mm] p^{-1} [/mm] : b [mm] \mapsto [/mm] 9
p: 9 [mm] \mapsto [/mm] b , p1: b [mm] \mapsto [/mm] c , [mm] p^{-1} [/mm] : c [mm] \mapsto [/mm] 11
p: 11 [mm] \mapsto [/mm] c , p1: c [mm] \mapsto [/mm] d , [mm] p^{-1} [/mm] : d [mm] \mapsto [/mm] 8
p: 8 [mm] \mapsto [/mm] d , p1: d [mm] \mapsto [/mm] e , [mm] p^{-1} [/mm] : e [mm] \mapsto [/mm] 12
Mehr geht ja hier nicht, egal, ob man anstelle der 12 mit 9, 11 oder 8 beginnt.
Schritt (2) a, b, c, d, e belegen:
Sei nun z.B. a = 3, dann bekomme ich über p1:
b = 7 (weil in p1 3 auf 7 abgebildet wird)
c = 4 (weil in p1 7 auf 4 abgebildet wird)
d = 8 (weil in p1 4 auf 8 abgebildet wird)
e = 3 (weil in p1 8 auf 3 abgebildet wird).
Schritt (3) Einträge in p vornehmen:
D.h. mit a = 3, b = 7, c = 4, d = 8 und e = 3 erhalte ich für p: (12 [mm] \mapsto [/mm] a, also 12 [mm] \mapsto [/mm] 3; 9 [mm] \mapsto [/mm] b, also 9 [mm] \mapsto [/mm] 7; 11 [mm] \mapsto [/mm] c, also 11 [mm] \mapsto [/mm] 4, und 8 [mm] \mapsto [/mm] d, also 8 [mm] \mapsto [/mm] 8
Es ergibt sich:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ _ & _ & _ & _ & _ & _ & _ & 8 & 7 & _ }
[/mm]
[mm] \pmat{ 11 & 12 \\ 4 & 3 } [/mm] (nicht wundern, musste die Permutation in 2 Matrizen schreiben, wenn ich versuche, die in 1 Zeile zu schreiben, macht das System eine dreizeilige Matrix draus)
Schritt (4) Fixpunkte (1,2,5,6,10) in p eintragen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 1 & 2 & _ & _ & 5 & 6 & _ & 8 & 7 & 10 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 11 & 12 \\ 4 & 3 }
[/mm]
Schritt (5) es fehlen noch 3 Einträge für p, und diese habe ich willkürlich festgelegt, weil ich nicht weiß, wie ich zu diesen kommen könnte: habe also folgendes festgelegt (war bloßer Zufall, belege ich die 3 Einträge anders, klappt es nämlich nicht mehr):
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 1 & 2 & 12 & 11 & 5 & 6 & 7 & 8 & 7 & 10 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 11 & 12 \\ 4 & 3 }
[/mm]
In Zyklusschreibweise: p = (3 12) (4 11) (7 9)
Schritt (6) die Inverse [mm] p^{-1} [/mm] bestimmen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 1 & 2 & 12 & 11 & 5 & 6 & 7 & 8 & 7 & 10 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 11 & 12 \\ 4 & 3 }
[/mm]
In Zyklusschreibweise: [mm] p^{-1} [/mm] = (3 12) (4 11) (7 9)
So kam ich also auf p und [mm] p^{-1}, [/mm] aber das war im Schritt 6 nur Willkür.
Daher würde ich gern von dir wissen (wenn es denn deine Zeit erlaubt), wie du deine Permutation bestimmt hast (denn anscheinend habe ich was übersehen) und ob du dabei in der Zeilenschreibweise gearbeitet hast oder ob man das auch mit der Zyklenschreibweise machen kann (das würde ja einiges vereinfachen, wenn das ginge) - ich konnte das allerdings nur in der Zeilenschreibweise....
Danke schon mal,
Gu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 30.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
1.
In Schritt (1) muss e=a sein, denn wenn wenn p : 12 [mm] \mapsto [/mm] a gilt, dann muss [mm] p^{-1} [/mm] natürlich genau dieses a auf 12 abbilden.
2.
Wahrscheinlich war deine ursprüngliche Lösung richtig, du hast dich bei der Kontrolle verrechnet.
Nach Schritt (4) bist du mit dem Fall a=3 fertig !
Jede mögliche Belegung der fehlenden Einträge (das sind 8! Stück) liefert eine Lösung für p. Insbesondere müssen 1,2,5,6,10 keine Fixpunkte sein.
p = (9 7 6) (11 4 1 2) (12 3) ist eine mögliche Permutation für den Fall a=3.
3.
Nebenbemerkung Tippfehler : Du meinst [mm] 7\mapsto9, [/mm] nicht [mm] 7\mapsto7.
[/mm]
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 So 30.12.2012 | | Autor: | gu75yey |
Hi Sax,
danke für deine Antwort!! Okay, das ist ja spannend! Habe probiert und Lösungen gefunden!
Aber: diese Lösungen funktionieren nur, wenn man die Multiplikation von links nach rechts liest, nicht aber, wenn man sie von rechts nach links liest. Da wir damals an der Uni die Multiplikation vereinbarungsgemäß immer von rechts nach links gelesen haben – wie kann ich den Lösungsweg ändern? Muss ich im Schritt (1) jeweils nur p gegen [mm] p^{-1} [/mm] austauschen?
Ich bin vor lauter Permutationen heute so wirr, dass ich mich freuen würde, wenn du mir da noch mal auf die Sprünge helfen könntest!
PS: Falls dich noch ein anderer Weg interessiert, kannst du mal (falls du es nicht schon gelesen hast) mal den Beitrag von wieschoo und meine Antwort lesen, der Lösungsweg ist auch schön!
Danke schon mal für deine Hilfe!!
Gu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Aber: diese Lösungen funktionieren nur, wenn man die
> Multiplikation von links nach rechts liest, nicht aber,
> wenn man sie von rechts nach links liest. Da wir damals an
> der Uni die Multiplikation vereinbarungsgemäß immer von
> rechts nach links gelesen haben – wie kann ich den
> Lösungsweg ändern? Muss ich im Schritt (1) jeweils nur p
> gegen [mm]p^{-1}[/mm] austauschen?
Ja, genau.
Das hatte ich in meinem ersten Beitrag schon angedeutet.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Mo 31.12.2012 | | Autor: | gu75yey |
Hey Sax,
danke, ich versuche das gleich noch mal!!
Hast du dir mal den anderen Lösungsweg angeschaut, der ist auch cool!!
LG
Gu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:58 Do 03.01.2013 | | Autor: | gu75yey |
Hi Sax,
gesundes neues Jahr noch!
Danke noch mal für deine Hilfe. Habe das nach deinem Hinweis noch mal nachgerechnet, mit a = 3, a = 4, a = 7 und a = 8 bekommt man 4 Permutationen, und bei jeder der 4 hat man 8! Möglichkeiten der Belegung, also sind es insgesamt 4*40320 = 161280 Lösungen. Genial.
Cool, danke, ohne deine Hilfe hätte ich das so nicht hinbekommen!!
Grüße,
Gu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hi,
> Ich komme einfach nicht drauf, wie ich p3 bestimmen
> kann.... Diese Aufgabe lässt mich einfach nicht los - da
> muss es doch irgend einen Trick geben... So schwer kann das
> doch nicht sein?! ;-P
>
Ja da gibt es einen einfachen Trick, mit dem man die Lösung ablesen kann.
Die Permutationen [mm]p_1=(3,7,4,8)[/mm] und [mm]p_2=(8,12,9,11)[/mm] sind zu einander konjugiert, da sie vom gleichen Zykeltyp sind.
Es gilt allgemein für [mm]g=(g_1,g_2,\dots,g_{n-1},g_n),h\in S_n[/mm]:
[mm]hgh^{-1}=(h(g_1),h(g_2),\dots,h(g_{n-1}),h(g_n))[/mm]
Also muss für h folgendes gelten
[mm]h(3)=8[/mm]
[mm]h(7)=12[/mm]
[mm]h(4)=9[/mm]
[mm]h(8)=11[/mm]
Dann hat h offensichtlich die Form $h=(3,8,11)(7,12)(4,9)$.
Da aber (8,12,9,11) = (12,9,11,8) = (9,11,8,12) gilt, gibt es natürlich mehrere Lösungen. (Wie viele)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 So 30.12.2012 | | Autor: | gu75yey |
Hi wieschoo,
danke danke danke für diesen eleganten Lösungsweg!! Das ist natürlich toll, dass es auch so kurz geht!!
Wegen der 4 Möglichkeiten Darstellungsmöglichkeiten für p2:
(8,12,9,11) = (12,9,11,8) = (9,11,8,12) = (11,8,12,9)
komme ich auf insgesamt 4 Lösungen:
h = (3 8 11)(4 9)(7 12)
h = (3 12)(4 11)(7 9)
h = (3 9)(4 8 12)(7 11)
h = (3 11)(4 12)(7 8 9)
Das sind aber scheinbar nicht alle. Wenn du den andern Pfad (Diskussion mit SAX) verfolgst, gibt es sehr viele weitere Lösungen, auf diese komme ich aber nicht über diesen kurzen Weg – oder?
Daher habe ich da doch noch eine weiterführende Frage : sind meine 4 Lösungen alle, die ich über deinen Lösungsweg finden kann oder habe ich da was übersehen? Oder bekommt man über deine Methode tatsächlich nur 4 der (keine Ahnung wie viele es insgesamt gibt) möglichen Lösungen und muss sich für die anderen anders behelfen, z.B. so, wie es z.B. SAX vorschlägt?
Danke schon mal!!!!!
Gu
|
|
|
| |
|
Nebst
p3 = (3 8 11)(4 9)(7 12)
sind auch
p3 = (3 8 11)(4 9)(7 12 1)
p3 = (3 8 11)(4 9)(7 12 2)
p3 = (3 8 11)(4 9)(7 12 k) , [mm] $k\in\{1,2,5,6,10\}$
[/mm]
...
p3 = (3 8 11)(4 9 k)(7 12) , [mm] $k\in\{1,2,5,6,10\}$
[/mm]
...
p3 = (3 8 11 k)(4 9)(7 12) , [mm] $k\in\{1,2,5,6,10\}$
[/mm]
Lösungen.
Du kann jeden Zykel mit den Zahlen {1,2,5,6,10} erweitern. Da dies in p1 Fixpunkte sind.
gruß
wieschoo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:51 Do 03.01.2013 | | Autor: | gu75yey |
Hi wieschoo,
danke für deine Hilfe!!! Bin wegen des Jahreswechsels nicht eher zum Antworten gekommen.
Es ist schön, wenn man eine Aufgabe endlich gelöst hat..... Ohne die Hilfe hier im Forum hätte ich das nicht so hinbekommen.
Insgesamt gibt es 4*8! Lösungen, das ist schon ganz schön viel. Denn man kann bei jeder der 4 gefundenen Permutationen die jeweils 8 (noch) nicht besetzten Einträge frei wählen.
Also, noch ein gesundes neues Jahr!!
Grüße,
Gu
|
|
|
|
