Permutierte Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Fr 18.11.2005 | | Autor: | wimath |
Hallo! Ich habe eine Frage zur follgenden Aufgabe (die Überschrift der Aufgabe lautet Permutierte Folgen...)
Sei $ [mm] \pi: \IN \to \IN [/mm] $ eine bijektive Abbildung und sei $ [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ eine konvergente Folge reeler Zahlen mit Grenzwert a $ [mm] \in \IR. [/mm] $ Zeigen Sie, dass die Folge $ [mm] (a_{ \pi}_{(n)})_{n \in \IN} [/mm] $ ebenfalls gegen a konvergiert.
Nun meine erste Frage ist, was ist das überhaupt für eine Folge
$ [mm] (a_{ \pi}_{(n)})_{n \in \IN} [/mm] $
Ich kann ja [mm] \pi [/mm] auch als eine Folge von natürlichen Zahlen betrachten, aber soll sie etwa eine Teilfolge von $ [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ sein, warum?? Vielleicht hat [mm] \pi [/mm] Elemente die $ [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ gar nicht hat.. Also wenn ihr Tipps habt würde ich mich über sie sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Soeren |
Hallo!
Die bijektive Abbildung [mm] $\pi:\IN\to\IN$ [/mm] kannst Du Dir als eine Umordnung der natürlichen Zahlen vorstellen. Jede Zahl wird auf eine andere Zahl abgebildet. Mit Hilfe dieser sogenannten Permutation wird nun aus der Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] eine neue Folge [mm] $(b_n)=(a_{\pi(n)})$ [/mm] definiert. Das bedeutet anschaulich, daß die Folgenglieder von [mm] $(a_n)$ [/mm] mittels der Permutation durcheinandergewürfelt werden. Da die Permutation [mm] $\pi$ [/mm] surjektiv ist, wird dabei kein [mm] $a_n$ [/mm] weggelassen, und weil sie injektiv ist, wird auch kein [mm] $a_n$ [/mm] doppelt verwendet.
Beispiel: Sei [mm] $a_n:=\frac [/mm] 1n$ für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Die ersten Glieder einer Folge [mm] $(b_n)$ [/mm] könnten dann lauten: [mm] $\frac 1{3000},\frac 1{7},\frac 1{421},\frac [/mm] 1{99543}$,...
Mit ein bißchen Gespür merkt man an diesem Beispiel, daß die Behauptung plausibel ist, denn die zur Verfügung stehenden Folgenglieder sind nun mal durch [mm] $(a_n)$ [/mm] festgelegt. Und das bedeutet, daß in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $a$ fast alle [mm] $a_n$ [/mm] liegen. Wenn man nun mal annimmt, daß [mm] $(b_n)$ [/mm] nicht gegen $a$ konvergieren würde,...
...dann ist man mitten in einem Beweis durch Kontraposition: Die Aussage [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ ist gleichwertig zu [mm] $\neg B\Rightarrow\neg [/mm] A$. Das ist dann ein bißchen hantieren mit der Definition der Folgenkonvergenz. Probier es aus, und wenn Du nicht weiter weißt, frag wieder nach!
Und dieses ganze Geschreibsel hier dient natürlich nur der Lösungsfindung. Der eigentliche schriftliche Beweis kann unter Umständen sehr knapp, aber trotzdem vollständig sein.
Gruß,
Sören
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Sa 19.11.2005 | | Autor: | wimath |
Hallo Soeren!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, meine wichtigste Frage, hast du beantwortet, nämlich, was neue die Folge bn eigentlich ist! Ich versuche jezt selbst einen Beweis zu finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo wimath!
Bitte hier innerhalb des MatheRaum's keine Doppel-Postings einstellen.
(Die andere Frage wurde von mir gelöscht).
Gruß
Loddar
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