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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | | Für das Wachstum einer Pflanze wird folgende Modellannahme getroffen: die Wachstumsgeschwindigkeit w(t) in cm/Tag steigt innerhalb von 40 Tagen linear von 0 auf 25. Anschließend nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit linear innerhalb 30 Tage wieder auf 0 ab. Um wie viel wächst die Pflanze insgesamt. |
Ich dachte mir die Höhe der Pflanze ist ganz einfach: 1/2*25*40 + 1/2*25*30. Das ist aber auch falsch.
Die Lösung laut Buch ist 875 cm, und die rechnen das so:
Für 0 <=t <= 40 gilt [mm] w(t)_{1}=25/40*t. [/mm] In diesem Zeitraum wächst die Pflanze um die Länge [mm] L_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{40} [/mm] {w(t) dt} = 500 cm
Für 40 <= t <= 70 gilt:
Für 40 <=t <= 70 gilt [mm] w(t)_{2}=-25/40*t [/mm] + 58 1/3. In diesem Zeitraum wächst die Pflanze um die Länge [mm] L_{2} [/mm] = [mm] \integral_{40}^{70} [/mm] {w(t) dt} = 375 cm
Die Pflanze wächst insgesamt um 875 cm.
Woher bitteschön stammen diese 58 1/3? Das steht doch gar nicht in der Aufgabe?
Gruß,
Audience
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mo 16.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Audience
Deine Rechnung ist richtig! Bei linearem Anstieg kann man den Weg aus der Durchschnittsgeschwindigket mal Zeitdifferenz ausrechnen.
die Durchschnittsgeschw. in den ersten 40d ist (0+25)/2, in den zweiten 30 Tagen (25+0)/2, mit den Zeitdifferenzen multipliziert dein Ergebnis und 875cm.
Deine Vorlage geht nach dem Prinzip: "Warum denn einfach wenns auch umständlich geht!" vor.
Nun die viel zu umständliche Rechnung, die du verstehen willst. Im Prinzip wird hier der Flächeninhalt eines Dreiecks auf die kompliziertest mögliche Weise ausgerechnet!
Du hast mit Zeitdifferenzen gerechnet, die Rechnung rechnet aber mit der Zeit, die bei 0 anfängt, erst mal bis 40 und dann von 40 bis 70 läuft! dann gilt für t>40 die Geschwindigkeit nimmt pro Tag um 25/30 ab, vom Anfangswert 25 . Aber die Anfangszeit ist ja 40 also ist die Geschw. am Tag 41:
w(41)=25-25/30*1=25-25/30*(41-40) usw. $w(t)=25-25/30*(t-40) =25-25/30*t+25*40/30=-25/30*t+(25+25*4/3)$ da steckt deine geheimnisvolle Zahl.
dafür musst du jetzt von 40 bis 70 integrieren, statt wie du in Gedanken einfach bei 40 neu als 0 anfangen.
Wenn du das ganze, also die 2 Geraden mal als Funktionen aufzeichnest, und dir klar machst, dass du mit deiner Rechnung auf einfache Weise den Flächeninhalt (=Länge) unter der w(t) Kurve ausgerechnet hast, man aber das auch -komplizierter- mit einem Integral ausrechnen kann, dann siehst du, dass auch Mathelehrer manchmal um 7 Ecken denken statt geradeaus!
Versuch deine einfache, richtige Rechnung zu verteidigen, eine Skizze des "Funktionsverlaufs" dazu hilft dir dabei.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Audience |
Ich glaube ich habs verstanden. Bitte beim nächsten Mal Eingabehilfen nutzen, sonst wird das ziemlich kompliziert zu lesen.
Danke!
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