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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Di 03.05.2011 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | Berechnen Sie die allgemeine Lösung folgender Systeme und zeichnen Sie die zugehörigen Phasenportraits:
a) [mm] \frac{dy}{dt}=\pmat{3 & -2 \\ 2 & -2}y
[/mm]
b) [mm] \frac{dy}{dt}=\pmat{5 & -1 \\ 3 & 1}y
[/mm]
c) [mm] \frac{dy}{dt}=\pmat{2 & -1 \\ 3 & -2}y [/mm] |
Hallo zusammen,
ich höre gerade eine Vorlesung zum Thema Mathematische Modellierung. Zur Zeit sind wir dabei Lösungen von Differentialgleichungen zu bestimmen und aktuell zusätzlich noch den zugehörigen Phasenraum zu skizzieren.
Bei letzterem habe ich jedoch insbesondere in den obigen Aufgaben einige Schwierigkeiten.
Allgemein bin ich folgendermaßen vorgegangen:
1) Fixpunkte gesucht, welche in allen Fällen nur [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist.
2) Die Eigenwerte und Eigenräume bestimmt, um Fixgeraden zu erhalten.
Eigenwerte sind:
a) [mm] \lambda_1=-1 [/mm]
[mm] \lambda_2=2
[/mm]
b) [mm] \lambda_1=2 [/mm]
[mm] \lambda_2=4
[/mm]
c) [mm] \lambda_1=1 [/mm]
[mm] \lambda_2=-1
[/mm]
Daraus resultieren die Eigenräume:
a) [mm] E_{-1}=\{\vektor{2 \\ 1}x | x\in \IR \}
[/mm]
[mm] E_{2}=\{\vektor{1 \\ 2}x | x\in \IR \}
[/mm]
b) [mm] E_{2}=\{\vektor{1 \\ 3}x | x\in \IR \}
[/mm]
[mm] E_{4}=\{\vektor{1 \\ 1}x | x\in \IR \}
[/mm]
c) [mm] E_{1}=\{\vektor{1 \\ 1}x | x\in \IR \}
[/mm]
[mm] E_{-1}=\{\vektor{1 \\ 3}x | x\in \IR \}
[/mm]
Zu a) habe ich mir folgende Skizze erstellt, bin mir aber über ihre Richtigkeit nicht sicher.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe mir dabei auf dieser Seite Hilfe geholt:
http://fsmat.at/~bkabelka/math/analysis/diff-gl/22.htm
Allerdings bin ich mir vollkommen unsicher wie ich die Skizzen zu den anderen Aufgaben erstellen muss. Es wäre super, wenn mir jemand erklären könnte wie man auf die Pfeilrichtungen schließt und eine entsprechende Skizze erstellt. Ein Link in dem es erklärt wird würde mir auch helfen.
Danke für eure Hilfe,
Torben
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Di 03.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach in jedem punkt x den vektor Ax zeichnen , nur Richtung, nicht Größe, dann hat man für deine 2. Dgl etwa dies bild mit ein paar eingetragenen Lösungskurven.
[Dateianhang nicht öffentlich]
erstellt mit 3D-Xploremath-J
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Di 03.05.2011 | | Autor: | Theta |
Super vielen Dank für die Hilfe.
Damit sollte das tatsächlich nicht mehr so schwer sein ;)
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