Phi Funktion, Summe der Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:28 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(1) [mm] \varphi(n)\sigma(n)
(2) Jede gerade vollkommene Zahl ist ein Binomialkoeffizient [mm] n=\begin{pmatrix}m\\
2\end{pmatrix}.
[/mm]
Es sei bei (1) [mm] \sigma(n)=\sum_{d|n}d. [/mm] |
Hallo,
ich stecke hier fest.
Zu (1):
Es ist [mm] \varphi(n)=n\cdot \prod_{p|n}1-\frac{1}{p}.
[/mm]
Wenn ich dann aber schreibe [mm] \varphi(n)\sigma(n)=n\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})\sum_{d|n}d [/mm] komme ich nicht weiter.
Ich weiß natürlich, dass [mm] \phi(n)
Zu (2):
Für vollkommene Zahlen gilt [mm] \sigma(n)=2n. [/mm] Wie komme ich aber nun damit zu dem Binomialkoeffizienten.
[mm] \begin{pmatrix}m\\
2\end{pmatrix}.
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}m\\
2\end{pmatrix}=\frac{m!}{2!(m-2)!}=\frac{m\cdot(m+1)}{2}=\frac{m^{2}+m}{2}=\frac{m^{2}}{2}+\frac{m}{2}.
[/mm]
Wenn nun n ein solcher Binomialkoeffizient ist, dann müsste ja die Summe der Teiler dieser Zahlen da oben gleich [mm] m^{2}+m [/mm] sein.
Aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mi 20.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie:
> (1) [mm]\varphi(n)\sigma(n)
> (2) Jede gerade vollkommene Zahl ist ein
> Binomialkoeffizient [mm]n=\begin{pmatrix}m\\
2\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Es sei bei (1) [mm]\sigma(n)=\sum_{d|n}d.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich stecke hier fest.
> Zu (1):
> Es ist [mm]\varphi(n)=n\cdot \prod_{p|n}1-\frac{1}{p}.[/mm]
> Wenn
> ich dann aber schreibe
> [mm]\varphi(n)\sigma(n)=n\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})\sum_{d|n}d[/mm]
> komme ich nicht weiter.
> Ich weiß natürlich, dass [mm]\phi(n)
> allein reicht nicht.
Kennst du [mm] $\sigma(\prod_{i=1}^n p_i^{e_i}) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n \frac{p_i^{e_i + 1} - 1}{p_i - 1}$? [/mm] Damit kannst du [mm] $\varphi(n) \sigma(n)$ [/mm] fuer $n = [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$ [/mm] vereinfachen.
> Zu (2):
> Für vollkommene Zahlen gilt [mm]\sigma(n)=2n.[/mm] Wie komme ich
Was weisst du denn sonst noch ueber vollkommene Zahlen?
Wenn du (1) verwendest, siehst du $2 [mm] \varphi(n) [/mm] n = [mm] \varphi(n) \sigma(n) [/mm] < [mm] n^2$, [/mm] also [mm] $\prod_{p \mid n} \frac{p - 1}{p} [/mm] < 1/2$. Vielleicht hilft dir das irgendwie weiter?
> aber nun damit zu dem Binomialkoeffizienten.
> [mm]\begin{pmatrix}m\\
2\end{pmatrix}.[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}m\\
2\end{pmatrix}=\frac{m!}{2!(m-2)!}=\frac{m\cdot(m+1)}{2}=\frac{m^{2}+m}{2}=\frac{m^{2}}{2}+\frac{m}{2}.[/mm]
>
> Wenn nun n ein solcher Binomialkoeffizient ist, dann
> müsste ja die Summe der Teiler dieser Zahlen da oben
> gleich [mm]m^{2}+m[/mm] sein.
Ja.
> Aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter.
So direkt kommst du damit auch nicht weiter.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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