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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Picard-Iteration
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Picard-Iteration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Di 27.11.2012
Autor: Hellfrog

Aufgabe
Lösen sie auf [0, [mm] \infty) [/mm] das Anfangsproblem

y' = ty,    y(0) = 1

mit Hilfe der Picard-Iteration.

hallo

ich habe hier ein problem bei dieser aufgabe. die einzelnen iterationen sind kein problem, nur das bildungsgesetz zu erraten fällt mir schwer.

[]Hier wurde zu derselben aufgabe schonmal 3 iterationen gerechnet und ich habe noch 2 weitere berechnet aber das hat mir nicht wirklich geholfen.

[mm] y_{4}(t) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{t^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{t^{4}}{8} [/mm] + [mm] \bruch{t^{6}}{48} [/mm] + [mm] \bruch{t^{8}}{384} [/mm]

[mm] y_{5}(t) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{t^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{t^{4}}{8} [/mm] + [mm] \bruch{t^{6}}{48} [/mm] + [mm] \bruch{t^{8}}{384} [/mm] + [mm] \bruch{t^{10}}{3840} [/mm]


habe schonmal versucht [mm] \bruch{1}{(n-1)!}, \bruch{1}{n!} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] auszuklammern, aber hat alles nix gebracht.
in nem anderen post wurde zu [mm] y_{4}(t) [/mm] geraten, eine bekannte taylor formel zu benutzen.


danke schonmal im voraus

        
Bezug
Picard-Iteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Di 27.11.2012
Autor: MathePower

Hallo Hellfrog,

> Lösen sie auf [0, [mm]\infty)[/mm] das Anfangsproblem
>  
> y' = ty,    y(0) = 1
>  
> mit Hilfe der Picard-Iteration.
>  hallo
>  
> ich habe hier ein problem bei dieser aufgabe. die einzelnen
> iterationen sind kein problem, nur das bildungsgesetz zu
> erraten fällt mir schwer.
>  
> []Hier
> wurde zu derselben aufgabe schonmal 3 iterationen gerechnet
> und ich habe noch 2 weitere berechnet aber das hat mir
> nicht wirklich geholfen.
>  
> [mm]y_{4}(t)[/mm] = 1 + [mm]\bruch{t^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{t^{4}}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{t^{6}}{48}[/mm] + [mm]\bruch{t^{8}}{384}[/mm]
>  
> [mm]y_{5}(t)[/mm] = 1 + [mm]\bruch{t^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{t^{4}}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{t^{6}}{48}[/mm] + [mm]\bruch{t^{8}}{384}[/mm] +
> [mm]\bruch{t^{10}}{3840}[/mm]
>  
>
> habe schonmal versucht [mm]\bruch{1}{(n-1)!}, \bruch{1}{n!}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] auszuklammern, aber hat alles nix
> gebracht.
>  in nem anderen post wurde zu [mm]y_{4}(t)[/mm] geraten, eine
> bekannte taylor formel zu benutzen.
>


Stelle z.B, 2. Summanden durch den 1. Summanden dar.

Ist der 1. Summand [mm]a_{0}[/mm], dann ist

[mm]a_{1}=c_{1}*a_{0}[/mm]

Das Spiel machst Du auch mit dem 2. Summanden usw.:

[mm]a_{2}=c_{2}*a_{1}[/mm]

Dann wirst Du ein Bildungsgesetz erkennen.


>
> danke schonmal im voraus


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Picard-Iteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:11 Mi 28.11.2012
Autor: fred97

Du kannst auch klammheimlich, auf einem Schmierzettel, das AWP

   y' = ty,    y(0) = 1


lösen. Das ist hier sehr einfach: [mm] y(t)=e^{\bruch{1}{2}t^2} [/mm]

Schreib das als Reihe und Du hast Dein Bildungsgesetz für die Iterationen.

Da Du das heimlich gemacht hast, solltest Du das Bildungsgesetz noch induktiv beweisen.

FRED

Bezug
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