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| Aufgabe | Ermitteln Sie mit dem Picard-Iterationsverfahren die Lösung des AWP
[mm]y' + 2xy^2 = 0 , y(0) = 1[/mm]
Führen sie dazu zwei oder drei Iterationsschritte aus und versuchen, daraus die korrekte Lösung zu erraten. |
Hallo,
ich glaube, ich stehe gerade einfach ein bisschen auf dem Schlauch. Für die Aufgabe habe ich folgende 2 Iterationsschritte durchgeführt:
[mm]y_0 = 1[/mm]
Das ist die Anfangsfunktion für die Iteration, soweit sie sich aus dem Anfangswert ergibt.
Erster Schritt:
[mm]y_1 = 1 + \integral_{0}^{x}{-2z * (1)^2 dz}
y_1 = 1 - x^2[/mm]
Zweiter Iterationsschritt:
[mm]y_2 = 1 + \integral_{0}^{x}{-2z * (1-z^2)^2 dz}
y_2 = 1 - x^2 + \bruch{x^4}{2} - \bruch{x^6}{3}[/mm]
So, da die dritte Integration jetzt vergleichsweise aufwändig werden würde, habe ich jetzt versucht, eine Funktionenreihe zu raten, die meine Lösungsfunktion darstellt. Man erkennt ja auch eine gewisse Regelmäßigkeit, aber ich schaffs irgendwie nicht, das in eine Reihe umzubasteln. Hab ich irgendwo einen Denkfehler, falsch integriert, oder kann mir bitte jemand kurz auf die Sprünge helfen, welche Reihe dabei herauskommt?
Danke,
Micha
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Hallo micha_goes_ti,
> Ermitteln Sie mit dem Picard-Iterationsverfahren die
> Lösung des AWP
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> [mm]y' + 2xy^2 = 0 , y(0) = 1[/mm]
>
> Führen sie dazu zwei oder drei Iterationsschritte aus und
> versuchen, daraus die korrekte Lösung zu erraten.
> Hallo,
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> ich glaube, ich stehe gerade einfach ein bisschen auf dem
> Schlauch. Für die Aufgabe habe ich folgende 2
> Iterationsschritte durchgeführt:
>
> [mm]y_0 = 1[/mm]
>
> Das ist die Anfangsfunktion für die Iteration, soweit sie
> sich aus dem Anfangswert ergibt.
>
> Erster Schritt:
>
> [mm]y_1 = 1 + \integral_{0}^{x}{-2z * (1)^2 dz}
y_1 = 1 - x^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zweiter Iterationsschritt:
>
> [mm]y_2 = 1 + \integral_{0}^{x}{-2z * (1-z^2)^2 dz}
y_2 = 1 - x^2 + \bruch{x^4}{2} - \bruch{x^6}{3}[/mm]
Hier hast Du Dich verrechnet:
[mm]-2z*\left(1-z^{2}\right)^{2}=-2z*\left(1-2*z^{2}+z^{4}\right)=-2z+4*z^{3}-2*z^{5}[/mm]
Integriert ergibt das:
[mm]y_2 = 1 + \integral_{0}^{x}{-2z+4*z^{3}-2*z^{5} \ dz}[/mm]
[mm]\gdw y_{2}=1+{\left[-z^{2}+\red{z^{4}}-\bruch{z^{6}}{3}\right]}_{0}^{x}[/mm]
[mm]\Rightarrow y_{2}=1-x^{2}+\red{x^{4}}-\bruch{x^{6}}{3}[/mm]
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> So, da die dritte Integration jetzt vergleichsweise
> aufwändig werden würde, habe ich jetzt versucht, eine
> Funktionenreihe zu raten, die meine Lösungsfunktion
> darstellt. Man erkennt ja auch eine gewisse
> Regelmäßigkeit, aber ich schaffs irgendwie nicht, das in
> eine Reihe umzubasteln. Hab ich irgendwo einen Denkfehler,
> falsch integriert, oder kann mir bitte jemand kurz auf die
> Sprünge helfen, welche Reihe dabei herauskommt?
>
> Danke,
> Micha
Gruss
MathePower
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Oha. Danke! Da hab ich beim ausmultiplizieren die eine 2 liegenlassen.
Das machts jetzt aber nicht unbedingt einfacher. Mein Reihenansatz wäre
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a(n)(x^2)^n[/mm]
und ich tu mich gerade etwas schwer, ein passendes a(n) zu finden. Oder kann ich irgendwie anders direkt die Lösung der DGL erkennen? Wenn man Trennung der Veränderlichen benutzt, findet man die Lösung
[mm] y = \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
recht fix. Aber wie komme ich jetzt von der zweiten Picard-Iteration dahin?
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Hallo micha_goes_ti,
> Oha. Danke! Da hab ich beim ausmultiplizieren die eine 2
> liegenlassen.
>
> Das machts jetzt aber nicht unbedingt einfacher. Mein
> Reihenansatz wäre
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a(n)(x^2)^n[/mm]
>
> und ich tu mich gerade etwas schwer, ein passendes a(n) zu
> finden. Oder kann ich irgendwie anders direkt die Lösung
> der DGL erkennen? Wenn man Trennung der Veränderlichen
> benutzt, findet man die Lösung
>
> [mm]y = \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
> recht fix. Aber wie komme ich jetzt von der zweiten
> Picard-Iteration dahin?
Betrachte die ersten drei Glieder von [mm]y_{2}[/mm]:
[mm]y_{2}=1-x^{2}+x^{4}=\left(-x^{2}\right)^{0}+\left(-x^{2}\right)^{1}+\left(-x^{2}\right)^{2}[/mm]
Dies ähnelt einer geometrischen Reihe.
Gruss
MathePower
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Geometrische Reihe? Okay. Ich hab das mal benutzt und komme zu folgender Herleitung (bei der ich ganz dreist die Formel für Partialsummen der geometrischen Reihe verwendet habe):
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{k} (-x^2)^n = \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1-(-x^2)^{k+1}}{1-(-x^2)} = \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
Ist das so in Ordnung? Gibts da irgendeine geschickte Variante, um das schnell herzuleiten, ohne die "Formel" für die Partialsummen zu verwenden? Unsere Übungsleiter stehen immer sehr darauf, wenn man alles, was man verwendet, von Hand herleitet.
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Hallo micha_goes_ti,
> Geometrische Reihe? Okay. Ich hab das mal benutzt und komme
> zu folgender Herleitung (bei der ich ganz dreist die Formel
> für Partialsummen der geometrischen Reihe verwendet
> habe):
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{k} (-x^2)^n = \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1-(-x^2)^{k+1}}{1-(-x^2)} = \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung? Gibts da irgendeine geschickte
Ja.
Streng genommen gilt die obige Formel nur für [mm]\vmat{x} < 1[/mm]
> Variante, um das schnell herzuleiten, ohne die "Formel"
> für die Partialsummen zu verwenden? Unsere Übungsleiter
> stehen immer sehr darauf, wenn man alles, was man
> verwendet, von Hand herleitet.
Sicher kannst Du das machen.
Betrachte
[mm]s_n=1-x^{2}+x^{4}- .... + \left(-x^{2}\right)^{n}[/mm]
und
[mm]-x^{2}*s_n=-x^{2}+x^{4}-... -x^{2}*\left(-x^{2}\right)^{n-1}+ -x^{2}*\left(-x^{2}\right)^{n}[/mm]
Gruss
MathePower
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