Picard-Lindelöf < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 So 10.07.2011 | | Autor: | mathfrag |
| Aufgabe | Begründen Sie die Aussage:
Durch jeden Punkt [mm] (a,b)\in \IR^{2} [/mm] verläuft genau eine Lösung der Dgl. y´= (y+c) *cos (h(x)) (h stetig, [mm] c\in \IR); [/mm] diese Lösung ist auf [mm] \IR [/mm] definiert. |
Ich verstehe das Verfahren von Picard-Lindelöf nicht ganz. ICh habe mich wie folgt an die Aufgabe "getraut":
I.
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm]
=cos(h(x)) I=[-a,a] J=[-b,b]
II.
[mm] Max|\bruch{df}{dx}|\le [/mm] L
[mm] \Rightarrow [/mm] cos |h(x)| [mm] \le [/mm] cos(0)=1=L
HIer habe ich bereits ein Problem, ich denke cosinus hat seinen Maximum bei 1 hat und deswegen setze x= 0... ist diese Überlegung korrekt?
III.
M=max |f(x,y)|= [mm] \max_{x,y \in \IR}
[/mm]
ich nehme an x=a bzw a+1 und y=b bzw y+1 und setze im zweiten Schritt für cosinus den Wert 1 ist wegen II.
= |(a+c)*cosh(b)|=(a+c)*1=a+c
IV
[mm] \alpha= [/mm] min{1, [mm] \bruch{b}{M} [/mm] }
=min {1, [mm] \bruch{b}{a+c} [/mm] } =1
nehme hier 1, intuitiv, da ich nicht genau weiß wie ich mit dem Bruch umgehen soll
V.
[mm] J=[x_{0}- \alpha, x_{0} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] ]
I=[a-1,a+1]
Für erläuterung ob ich auf dem richtigen Weg bin und ob meine Überlegungen so korrekt sind wäre ich sehr dankbar...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 So 10.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei f(x,y):= (y+c)cos(h(x))
Dann ist doch
$|f(x,y)-f(x,z)| [mm] \le [/mm] 1*|y-z|$
f genügt also auf [mm] \IR^2 [/mm] einer Lipschitzbedingung bezüglich y.
FRED
|
|
|
| |
|
Vielen Dank.
y-z... Ok. Wofür steht die 1? war meine vermutung mit L= cos(o)=1 richtig? Wenn ich also nur bis Schritt 2 gehe, reicht es um nachzuweisen, dass durch jeden Punkt (a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] genau eine Lösung der DGL verläuft? und es zeigt auch, dass diese Lösung auf ganz [mm] \R [/mm] definiert ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 12.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
