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| Aufgabe | Betrachte eine nicht-negative Funktion H [mm] \in C^2 (\IR^2,\IR^+) [/mm] und das System gewöhnlicher Differentialgleichungen: [mm] \bruch{dy1}{dt}=-\partial_{x2}H(y1,y2) [/mm] und [mm] \bruch{dy2}{dt}=\partial_{x1}H(y1,y2)
[/mm]
a) Für jeden Anfanswert x0 [mm] \in \IR^2 [/mm] gibt es eine eindeutige bestimmte Lokale Lösung vom obigen System mit Anfangswert y(0)=x0
b) Falls [mm] |\nabla [/mm] H| eine beschränkte Funktion ist, dann gibt es eine globale Lösung, weshalb? |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe einige Probleme mit Picard-Lindelöf und lipschitzstetigkeit. Bin dankbar für jede Hilfe!!
a) also ich bin mir fast sicher das ich hier den lokalen satz von picard-lindelöf anwenden muss. doch verstehe ich nicht, wie ich sagen kann das [mm] -d_{x_{2}}H(y1,y2) [/mm] lipschitzstetig ist? kann ich das etwa nur daraus folgern weil H nichtnegativ und diffbar ist?
b) hier würde ich sagen, dass durch die beschränktheit folgt, dass H auf dem ganzen Intervall [mm] R^2 [/mm] lipschitzstetig ist, dadurch gibt es also eine globale lösung.
Danke vielmals schon im Voraus
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Mi 01.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da stehen Ableitungen nach t, dann anfangswerte und Ableitungen nach x1 und x2
kannst du das alles erst mal berichtigen oder erklären? ene differenzierbare fkt ist auch L. stetig
Gruss leduart
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hallo!
also genau so haben wir die Aufgabe bekommen. Kann es jetz sein das H nach y2 (bzw y1) abgeleitet werden sollte anstatt wie in der aufgabe geschrieben nach x2 (bzw x1). meinst du das das ein fehler ist oder habe ich dich falsch verstanden?
einen anfangswert braucht es ja um picard-lindelöf anzuwenden.
das heisst ich könnte so argumentieren, da H in [mm] C^2 [/mm] ist, ist H diffbar und damit lipschitzstetig?
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hallo,
hat niemand ne idee dazu? ich habe am montag prüfung und sollte das verstehen... kann ich das so machen wie ich es oben geschrieben habe?
vielen dank für jede hilfe!!
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Hallo,
> Betrachte eine nicht-negative Funktion H [mm]\in C^2 (\IR^2,\IR^+)[/mm]
> und das System gewöhnlicher Differentialgleichungen:
> [mm]\bruch{dy1}{dt}=-\partial_{x2}H(y1,y2)[/mm] und
> [mm]\bruch{dy2}{dt}=\partial_{x1}H(y1,y2)[/mm]
> a) Für jeden Anfanswert x0 [mm]\in \IR^2[/mm] gibt es eine
> eindeutige bestimmte Lokale Lösung vom obigen System mit
> Anfangswert y(0)=x0
> b) Falls [mm]|\nabla[/mm] H| eine beschränkte Funktion ist, dann
> gibt es eine globale Lösung, weshalb?
>
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> Hallo zusammen,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ich habe einige Probleme mit Picard-Lindelöf und
> lipschitzstetigkeit. Bin dankbar für jede Hilfe!!
> a) also ich bin mir fast sicher das ich hier den lokalen
> satz von picard-lindelöf anwenden muss. doch verstehe ich
> nicht, wie ich sagen kann das [mm]-d_{x_{2}}H(y1,y2)[/mm]
> lipschitzstetig ist? kann ich das etwa nur daraus folgern
> weil H nichtnegativ und diffbar ist?
> b) hier würde ich sagen, dass durch die beschränktheit
> folgt, dass H auf dem ganzen Intervall [mm]R^2[/mm] lipschitzstetig
> ist, dadurch gibt es also eine globale lösung.
>
> Danke vielmals schon im Voraus
> Steffi
a) wenn eine funktion stetig diffbar ist (so wie die partiellen Ableitungen von $H$), dann ist sie zumindest lokal lipschitz. Damit kannst du den lokalen picard-lindelöf anwenden und bekommst eine lokale eindeutige lösung.
b.) die partiellen ableitungen von $H$ sind stetig diffbar und beschränkt. du hast also DGLen der Art
$y'=f(t,y)$ mit [mm] $f\in C^1, [/mm] |f| [mm] \le [/mm] C$
für die lösung gilt ja (integration von 0 bis $t$)
[mm] $y(t)=y(0)+\int_0^t [/mm] f(s,y) ds$
du kannst also $y(t)$ abschätzen :
[mm] $|y(t)|\le [/mm] |y(0)|+ [mm] t\cdot [/mm] C$
die (zunächst nur lokale) lösung kann also höchstens linear wachsen und insbesondere keine polstellen aufweisen. Aus meiner sicht sollte das reichen, um die globale existenz zu begründen.
Mit globaler lipschitz-stetigkeit wäre ich vorsichtig: eine differenzierbare und beschränkte funktion muss eventuell auf einem unbeschränkten gebiet nicht unbedingt global lipschitz-stetig sein. Ich könnte mir zB eine funktion vorstellen, die periodisch steigt und fällt (ähnlich dem sinus), aber dabei immer steiler wird. diese wäre nicht global L-stetig.
gruss
matthias
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