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| Aufgabe | Bestimmen sie das größtmögliche Intervall [mm] [-\alpha,+\alpha] [/mm] , auf dem nach dem lokalen Satz von Picard-Lindelöf die Lösung des Anfangswertproblems
u' = [mm] u^2 [/mm] , u(0)= 2
existiert und eindeutig ist. |
Unsere Definition des lokalen Picard-Lindelöf:
Sei J [mm] \subseteq \IR [/mm] ein kompaktes Intervall, [mm] (t_0,u_0) \in [/mm] J [mm] \times \IR^n,
[/mm]
[mm] Q_{\beta} [/mm] := [mm] \{ v \in \IR^n | \parallel v - u_0 \parallel \le \beta \} \subseteq \IR^n [/mm] und
sei f [mm] \in [/mm] C(J [mm] \times Q_{\beta},\IR^n) [/mm] Lipschitz-beschränkt auf J [mm] \times Q_{\beta} [/mm] (bezüglich der 2.ten Variablen) mit Lipschitz-Konstante L [mm] \ge [/mm] 0.
Dann besitzt die Anfangswertaufgabe genau eine lokale Lösung u [mm] \in C^1(I,\IR^n), [/mm] wobei
I := J [mm] \cap [t_0 [/mm] - [mm] \alpha, t_0 [/mm] + [mm] \alpha], \alpha [/mm] := [mm] \beta/M [/mm] , M := max [mm] \parallel [/mm] f(t,v) [mm] \parallel
[/mm]
Das Problem, was ich jetzt habe, ist, dass ich bei dieser Aufgabe ein beliebiges [mm] \beta [/mm] aussuchen kann und dann L = [mm] 2*(\beta+2) [/mm] wählen kann. M wäre [mm] (\beta+2)^2. [/mm] Damit wäre [mm] \alpha [/mm] ja auch klar. Wie soll ich aber [mm] \beta [/mm] wählen, dass I bzw. [mm] \alpha [/mm] maximal wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:43 Do 19.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie das größtmögliche Intervall
> [mm][-\alpha,+\alpha][/mm]
???? Steht da nicht vielleicht [mm](-\alpha,+\alpha)[/mm] ???
> , auf dem nach dem lokalen Satz von
> Picard-Lindelöf die Lösung des Anfangswertproblems
> u' = [mm]u^2[/mm] , u(0)= 2
> existiert und eindeutig ist.
> Unsere Definition des lokalen Picard-Lindelöf:
> Sei J [mm]\subseteq \IR[/mm] ein kompaktes Intervall, [mm](t_0,u_0) \in[/mm]
> J [mm]\times \IR^n,[/mm]
>
> [mm]Q_{\beta}[/mm] := [mm]\{ v \in \IR^n | \parallel v - u_0 \parallel \le \beta \} \subseteq \IR^n[/mm]
> und
> sei f [mm]\in[/mm] C(J [mm]\times Q_{\beta},\IR^n)[/mm] Lipschitz-beschränkt
> auf J [mm]\times Q_{\beta}[/mm] (bezüglich der 2.ten Variablen) mit
> Lipschitz-Konstante L [mm]\ge[/mm] 0.
> Dann besitzt die Anfangswertaufgabe genau eine lokale
> Lösung u [mm]\in C^1(I,\IR^n),[/mm] wobei
>
> I := J [mm]\cap [t_0[/mm] - [mm]\alpha, t_0[/mm] + [mm]\alpha], \alpha[/mm] := [mm]\beta/M[/mm]
> , M := max [mm]\parallel[/mm] f(t,v) [mm]\parallel[/mm]
>
> Das Problem, was ich jetzt habe, ist, dass ich bei dieser
> Aufgabe ein beliebiges [mm]\beta[/mm] aussuchen kann und dann L =
> [mm]2*(\beta+2)[/mm] wählen kann. M wäre [mm](\beta+2)^2.[/mm] Damit wäre
> [mm]\alpha[/mm] ja auch klar. Wie soll ich aber [mm]\beta[/mm] wählen, dass
> I bzw. [mm]\alpha[/mm] maximal wird?
>
>
Ich denke, dass Du in dieser Aufgabe nicht nachweisen sollst, dass die Voraussetzungen des lokalen Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt sind.
Du sollst "nur" die (eindeutig) bestimmte Lösung des Anfangswertproblems bestimmen und das maximale Existenzintervall dieser Lösung.
Mache also folgendes:
1. Bestimme die allgemeine Lösung der DGL
(*) $u' = [mm] u^2 [/mm] $
mit Trennung der Veränderlichen.
2. Bestimme dann diejenige Lösung von (*), die der Anfangsbedingung u(0)=2 genügt.
3. Wenn Du 2. erledigt hast, sollte Dir das maximale Existenz Intervall I sofort ins Auge springen. Beachte dabei: 0 [mm] \in [/mm] I.
Zur Kontrolle: $I=(- [mm] \infty,\bruch{1}{2})$
[/mm]
Falls der Aufgabensteller nicht $ [mm] [-\alpha,+\alpha]$ [/mm] sondern wirklich [mm](-\alpha,+\alpha)[/mm] meint, so wäre also
$ [mm] \alpha= \bruch{1}{2}$
[/mm]
FRED
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Danke für die Antwort. Es war etwas anderes gemeint.
[mm] \beta [/mm] / [mm] (\beta [/mm] + [mm] 2)^2 [/mm] musste maximiert werden.
Dafür haben wir nach [mm] \beta [/mm] abgeleitet und kurvendiskussion betrieben.
Danke nochmal. :)
Und es war war wirklich [mm] [-\alpha,\alpha] [/mm] gemeint.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:42 Di 08.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort. Es war etwas anderes gemeint.
>
> [mm]\beta[/mm] / [mm](\beta[/mm] + [mm]2)^2[/mm] musste maximiert werden.
> Dafür haben wir nach [mm]\beta[/mm] abgeleitet und
> kurvendiskussion betrieben.
>
> Danke nochmal. :)
>
> Und es war war wirklich [mm][-\alpha,\alpha][/mm] gemeint.
Das ist doch nicht zu glauben. Das obige AWP hat, wie man sofort mit TDV nachrechnet, die eindeutig bestimmt Lösung
[mm] u(t)=\bruch{2}{1-2t}.
[/mm]
Der Def. -Bereich von u ist [mm] \IR \setminus\{1/2\}. [/mm] Damit ist das maximale Existenzintervall gegeben durch
$(- [mm] \infty,\bruch{1}{2})$.
[/mm]
FRED
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