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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mi 08.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
| Aufgabe | Ein Planet der Masse m bewegt sich um die Sonne mit Masse M. Im radialsymmetrischen Gravitationsfeld gilt:
- Die Summe aus Gravitationsenergie [mm] E_{p}(t)=-G*M*\bruch{m}{r(t)} [/mm] und kinetsicher Energie [mm] E_{kin}(t) [/mm] ist konstant E.
- Der Drehimpuls L des Planeten ist konstant
- Die Bewegung des Planeten findet in einer Ebene statt.
a) Formulieren Sie die kinetische Energie und den Drehimpuls in Polarkoordinaten
b) Stellen Sie damit die erwähnte Energiebilanz so in Polarkoordinaten auf, dass sie nicht mehr von [mm] \phi [/mm] sondern nur noch von r und r' abhängt. Bestimmen Sie damit [mm] d\phi [/mm] = f(r) dr (1).
c) Integrieren Sie (1). Die Substitution u= [mm] \bruch{1}{r} [/mm] liefert ein bekanntes Integral der Gestalt [mm] -\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{au^{2}+bu+c}} du}, [/mm] welches in der Literatur nachgeschlagen werden soll.
d) Leiten Sie aus der Lösung von c) die Gleichung der Kegelschnitte [mm] r=\bruch{p}{1+\epsilon*cos(\phi)} [/mm] |
Hallo!
Also, ich habe bis jetzt nur zu a) was gemacht und wollte fragen ob das so weit richtig ist.
a)
Ortsektor des Planeten [mm] \overrightarrow{r}(t)=r(t)*\vektor{cos(\phi(t)) \\ sin(\phi(t))}=r(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t)
[/mm]
Geschwindigkeit ist die Ableitung nach der Zeit, also:
[mm] \overrightarrow{r'}(t)=\overrightarrow{v}(t)=r'(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t)+r(t)*\overrightarrow{e_{r}'}(t)=r'(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t)+r(t)*\phi'(t)*\overrightarrow{e_{\phi}}(t)
[/mm]
denn [mm] \overrightarrow{e_{r} '}(t)=\phi'(t)*\vektor{-sin(\phi(t)) \\ cos(\phi(t))}=\phi'(t)*\overrightarrow{e_{\phi}}(t)
[/mm]
- kinetische Energie [mm] E_{kin}=\bruch{1}{2}*m*v^{2}, [/mm] somit:
[mm] E_{kin}=\bruch{1}{2}*m*(r'(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t)+r(t)*\phi'(t)*\overrightarrow{e_{\phi}}(t))^{2}
[/mm]
- Drehimpuls [mm] L=m*(r\times [/mm] v), also
[mm] L=m*(\overrightarrow{r}(t)\times\overrightarrow{v}(t))
[/mm]
[mm] =m*[(r(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t))\times(r'(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t)+r(t)*\phi'(t)*\overrightarrow{e_{\phi}}(t))
[/mm]
=m*[ ( [mm] (r(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t))\times(r'(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t)) [/mm] ) + ( [mm] (r(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t))\times(r(t)*\phi'(t)*\overrightarrow{e_{\phi}}(t)) [/mm] ) ]
[mm] =m*[r(t)r'(t)*(\overrightarrow{e_{r}}\times\overrightarrow{e_{r}})+(r(t))^{2}\phi'(t)*(\overrightarrow{e_{r}}\times\overrightarrow{e_{\phi}})
[/mm]
mit [mm] (\overrightarrow{e_{r}}\times\overrightarrow{e_{r}})=0
[/mm]
und [mm] (\overrightarrow{e_{r}}\times\overrightarrow{e_{\phi}})=1 [/mm] also:
[mm] L=mr(t))^{2}\phi'(t)
[/mm]
Mehr habe ich mit noch nicht überlegt. Ist das soweit richtig?
Danke!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mi 08.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich finde keinen Fehler in der Rechnung. E solltest du noch weiter ausrechnen, bei L fehlt die Richtung /senkrecht zur Ebene)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 08.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Danke!
Stimmt! Die kinetische Energie kann ich ja noch vereinfachen:
[mm] E_{kin}=\bruch{1}{2}*m*(r'(t)*\overrightarrow{e_{r}}(t)+r(t)*\phi'(t)*\overrightarrow{e_{\phi}}(t))^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*m*[r'(t)^{2}*\overrightarrow{e_{r}}^{2}+2*r(t)*r'(t)*\phi'(t)*\overrightarrow{e_{r}(t)}*\overrightarrow{e_{\phi}(t)}+r(t)^{2}*\phi(t)^{2}*\overrightarrow{e_{\phi}}(t)^{2}]
[/mm]
mit [mm] \overrightarrow{e_{r}}^{2} [/mm] = 1 ; [mm] \overrightarrow{e_{r}(t)}*\overrightarrow{e_{\phi}(t)} [/mm] = 0 ; [mm] \overrightarrow{e_{\phi}}(t)^{2} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow E_{kin}=\bruch{1}{2}*m*(r'(t)^{2}+r(t)^{2}*\phi'(t)^{2})
[/mm]
Mir ist allerdings nicht klar, wie ich die Richtung bei L einbringe, bzw. was genau du meinst....
zu b)
E= [mm] -G*M*\bruch{m}{r(t)}+\bruch{1}{2}*m*(r'(t)^{2}+r(t)^{2}*\phi'(t)^{2})
[/mm]
[mm] \gdw 0=-E-G*M*\bruch{m}{r(t)}+\bruch{1}{2}*m*r'(t)^{2}+\bruch{1}{2}*m*r(t)^{2}*\phi'(t)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}*m*r(t)^{2}*\phi'(t)^{2}=E+G*M*\bruch{m}{r(t)}-\bruch{1}{2}*m*r'(t)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \phi'(t)^{2}=\bruch{2E}{m*r(t)^{2}}+\bruch{2GM}{r(t)^{3}}-\bruch{r'(t)^{2}}{r(t)^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \phi'(t)=\wurzel {\bruch{2E}{m*r(t)^{2}}+\bruch{2GM}{r(t)^{3}}-\bruch{r'(t)^{2}}{r(t)^{2}}}
[/mm]
Das sieht doch recht kompliziert aus, ich sehe aber nicht wie ich das vereinfachen soll/ kann... Soll ich das wirklich so bei c) integrieren?
Vielen Dank schonmal!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 08.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast vergessen, dass du noch L=const hast. Warum solltest du das wohl ausrechnen?
lös nach [mm] \Phi' [/mm] auf und setz in die Energiegl ein. dann daraus r'=h(r)(r)
aus L [mm] \Phi'=g(r) [/mm]
aus beiden dann [mm] d\Phi=f(r)dr [/mm] mit f=g/h
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Do 09.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Okay! Danke!
Ich hab dann bei b)
[mm] L=m*r(t)^{2}*\phi'(t) \gdw \phi'(t)=\bruch{L}{m*r(t)^{2}}
[/mm]
Einstzen von [mm] \phi'(t) [/mm] in die Energiebilanz:
[mm] E=-G*M*\bruch{m}{r(t)}+\bruch{1}{2}*m*r'(t)^{2}+\bruch{1}{2}*m*r(t)^{2}*\bruch{L}{m*r(t)^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw E+G*M*\bruch{m}{r(t)}=\bruch{1}{2}*m*r'(t)^{2}+\bruch{1}{2}*L
[/mm]
[mm] \gdw E+G*M*\bruch{m}{r(t)}-\bruch{1}{2}*L=\bruch{1}{2}*m*r'(t)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2E}{m}+\bruch{2GM}{r(t)}-\bruch{L}{m}=r'(t)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw r'(t)=\wurzel{\bruch{2GM}{r(t)}+\bruch{2E-L}{m}}
[/mm]
Mit [mm] \phi'(t) [/mm] und r'(t) zusammen erhalte ich dann:
[mm] \bruch{\phi'(t)}{r'(t)}=\bruch{\bruch{L}{m*r(t)^{2}}}{\wurzel{\bruch{2GM}{r(t)}+\bruch{2E-L}{m}}
}
[/mm]
[mm] \gdw \phi'(t)=\bruch{L*r'(t)}{m*r(t)^{2}*\wurzel{\bruch{2GM}{r(t)}+\bruch{2E-L}{m}}}
[/mm]
Ist das so richtig?
zu c)
Mit der Substitution u= [mm] \bruch{1}{r} [/mm] und Integration erhalte ich aus [mm] \phi'(t)=\bruch{L*r'(t)}{m*r(t)^{2}*\wurzel{\bruch{2GM}{r(t)}+\bruch{2E-L}{m}}}:
[/mm]
[mm] \phi(t) [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{-L*u(t)^{2}}{m*\wurzel{2*G*M*u(t)+\bruch{2*E*L}{m}}} du}
[/mm]
Es hat ja nun aber nicht die Form, die es laut Aufgabenstellung haben soll. Ich zweifle sowieso noch dran, ob meine Substitution so richtig ist oder auch das Ergebnis aus b).
Weiterhin weiß ich nicht, wie ich das Integral in der Literatur finden soll, mir fehlt ein Suchbegriff...
Vielen Dank nochmal!!!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 09.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal nur dein Fehler:
du hast statt [mm] \Phi'^2 [/mm] nur [mm] \\Phi' [/mm] in die energiegl. eingesetzt. Den rest hab ich dann nicht mehr überprüft.
(Durch Vergleich der Einheiten bzw. dimensionen hättest du deinen Fehler merken Können!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 10.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
ah, okay! wie blöd!
Jetzt kommt es auch besser hin ;)
b)
[mm] L=m*r(t)^{2}*\phi'(t) \gdw \phi'(t)=\bruch{L}{m*r(t)^{2}}
[/mm]
Das in [mm] E=-G*M*\bruch{m}{r(t)}+\bruch{1}{2}*m*r'(t)^{2}+\bruch{1}{2}*m*r(t)^{2}*\phi'(t)^{2} [/mm] einsetzen:
[mm] \Rightarrow E+G*M*\bruch{m}{r(t)}-\bruch{1}{2}*m*r(t)^{2}*\bruch{L^{2}}{m^{2}*r(t)^{4}}=\bruch{1}{2}*m*r'(t)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw r'(t)=\wurzel{\bruch{2E}{m}+\bruch{2GM}{r(t)}-\bruch{L^{2}}{m^{2}*r(t)^{2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\phi'(t)}{r'(t)}=\bruch{L}{m*r(t)^{2}*\wurzel{\bruch{2E}{m}+\bruch{2GM}{r(t)}-\bruch{L^{2}}{m^{2}*r(t)^{2}}}}
[/mm]
[mm] \gdw \phi'(t)=\bruch{L}{m*r(t)^{2}*\wurzel{\bruch{2E}{m}+\bruch{2GM}{r(t)}-\bruch{L^{2}}{m^{2}*r(t)^{2}}}}*r'(t)
[/mm]
Das müsste doch alles zu b) sein, oder?
zu c)
Es gilt:
[mm] \phi'(t)=\bruch{L}{m*r(t)^{2}*\wurzel{\bruch{2E}{m}+\bruch{2GM}{r(t)}-\bruch{L^{2}}{m^{2}*r(t)^{2}}}}*r'(t) [/mm] mit [mm] \phi'(t)=\bruch{L}{m*r(t)^{2}}
[/mm]
Also:
1 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{2E}{m}+\bruch{2GM}{r(t)}-\bruch{L^{2}}{m^{2}*r(t)^{2}}}}*r'(t)
[/mm]
Mit der Substitution u = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] und Integration erhalte ich dann:
u = [mm] -\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{-L^{2}}{m^{2}}*u^{2}+2*G*M*u+\bruch{2E}{m}}} du}
[/mm]
Das Integral hat dann ja auch die gewünschte Form. Nun steht dort allerdings in der Aufgabenstellung, dass es sich um ein bekanntes Integral handelt, welches man nachschlagen kann.
Ich habe nur gefunden:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{ax^{2}+bx+c}} dx}=\bruch{1}{\wurzel{a}}*ln(\vmat{2ax+b+2*\wurzel{a*(ax^{2}+bx+c)}})
[/mm]
Nun ist mein a ja aber negativ und wenn ich mir d) anschaue vermute ich, dass das nicht der richtige Ansatz ist... Ne andere Idee...?
Vielen Dank für die ganze Hilfe!!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Fr 10.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
durch quadratische Ergänzung [mm] -ax^2+bx+c [/mm] auf [mm] D-A(x-B)^2 [/mm] bringen, das dann auf
[mm] 1-C^2x^2 [/mm] mit cx=u hast du dann [mm] 1/\sqrt(1-u^2) [/mm] und weisst dass das Integral arcsin(u) gibt oder weitere substitution u=sin(x)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Sa 11.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Okay, danke!
Ich habe also u = [mm] -\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{-L^{2}}{m^{2}}*u^{2}+2GM*u+\bruch{2E}{M}}} du}
[/mm]
Und es gilt:
[mm] \bruch{-L^{2}}{m^{2}}*u^{2}+2GM*u+\bruch{2E}{M}= \vektor{\bruch{2E}{M}+\bruch{G^{2}M^{2}m^{4}}{L^{2}}}-\bruch{L^{2}}{m^{2}}*\vektor{u-\bruch{GMm}{L^{2}}}^{2}
[/mm]
Nun setze ich gleich:
[mm] \vektor{\bruch{2E}{M}+\bruch{G^{2}M^{2}m^{4}}{L^{2}}}-\bruch{L^{2}}{m^{2}}*\vektor{u-\bruch{GMm}{L^{2}}}^{2} [/mm] = [mm] 1-C^{2}u^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow C=\wurzel{\bruch{1}{u^{2}}-\bruch{2E}{Mu^{2}}-\bruch{G^{2}M^{2}m^{4}}{L^{2}u^{2}}+\bruch{L^{2}}{m^{2}u^{2}}*\vektor{u-\bruch{GMm}{L^{2}}}^{2}}{}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Wenn ich jetzt substituieren soll mit Cu = x geht das einfach so, da C ja ebenfalls von u abhängig ist?
Ergibt sich daraus dann einfach [mm] u=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}dx}=arcsin(x)=arcsin(\wurzel{\bruch{1}{u^{2}}-\bruch{2E}{Mu^{2}}-\bruch{G^{2}M^{2}m^{4}}{L^{2}u^{2}}+\bruch{L^{2}}{m^{2}u^{2}}*\vektor{u-\bruch{GMm}{L^{2}}}^{2}}{}*u) [/mm] ?
Nein, oder? Ich weiß leider nicht, wie ich das machen soll...
Vielen Dank!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Sa 11.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das mit all den länglichen ausdrücken zu machen ist mir zu umständlich.
warum nicht in der Wurzel : schreib auf, was a,b,c ist, später D alles Konstanten!
[mm] -ax^2+bx+c=-a(x^2-b/ax+b^2/4a^2-b^2/4a^2-c/a)=-a((x-b/2a)^2+(c/a+b^2/4a^2)=
[/mm]
mit [mm] D=(c/a+b^2/4a^2)
[/mm]
[mm] a*D*(1-(x-b/2a)^2/\sqrt{D^2})
[/mm]
u=(x-b/2a)/D ; du =dx/D
dann hast du im Nenner [mm] \sqrt{aD}*sqrt{1-u^2}
[/mm]
aufkösen und erst am Ende a,b,c, D einsetzen hilft Fehler vermeiden, ob du das richtig gemacht hast prüf bitte selbst nach.
mit einem C, das u enthält ist es sicher Unsinn , dann hast du die Substitution nicht verstanden
also rechne neu
Gruss leduart
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