Platz in der Warteschlange < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Ein Kinobesitzer erklärt, er werde der ersten Person in der Schlange vor seiner Kinokasse freien Eintritt gewähren, die am selben Tag Geburtstag hat wie irgendjemand aus der Gruppe derjenigen, die vor ihr bereits eine Karte gekauft haben. Ermitteln Sie den günstigsten Platz in der Warteschlange unter der Annahme, dass die Geburtstage der Wartenden unabhängig voneinander und gleichverteilt auf [mm] \{1.... 365\} [/mm] sind. |
Guten Abend,
habt ihr zu dieser aufgabe eine idee?? find das ganz schön knifflig aus den sehr wenigen angaben den besten platz in der warteschlange rausfinden zu können?
kann man das geburtstagsproblem hier verwenden? die wahrscheinlichkeit dafür dass von k Leuten mindestens zwei am gleichen tag geburtstag haben ist ja:
P(A) = 1 - [mm] \frac{365!}{(365-k)!} \frac{1}{365^k}
[/mm]
(Komplementärereignis alle k leute haben an verschiedenen tagen geburtstag)
aber wie kann ich damit den vermutlich besten platz finden in der schlange angeben...??? *grübel*
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:08 Sa 17.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Kaum hat man mal sein muedes Haupt zur Ruhe gebettet, schon hat Riley des Nachts wieder einen harten Knochen ausgegraben... 
Moin,
ich bin mir unsicher, ob folgende Ueberlegung was bringt. Definiere die
Ereignisse
[mm] $A_n=$Alle [/mm] $n$ Personen vor dir haben unterschiedliche Geburtstage
und
[mm] $B_n=$Eine [/mm] Person unter den $n$ Personen vor dir hat denselben Geburtstag wie du.
Du suchst [mm] $P(A_n\cap B_n)$. [/mm] Da die Ereignisse unabhaengig sind, [mm] $P(A_n)$ [/mm] faellt, [mm] $P(B_n)$ [/mm] steigt, koennte die Loesung auf ein (diskretes, aagh!) Optimierungsproblem hinauslaufen. Habe jetzt aber nicht die Zeit, das genauer auszubaldowern. Fuer die Bestimmung von [mm] $P(A_n)$ [/mm] hast du vermutlich den richtigen Riecher gehabt.
hth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Sa 17.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Da bin ich wieder.
Ich knuepfe an meine Ueberlegungen oben an und bestimme [mm] $P(A_n\cap B_n)=P(B_n\mid A_n)P(A_n)$. [/mm] Wie du schon selber festgestellt hast, gilt
[mm] $P(A_n)=(365\times 364\times\dots\times(365-(n-1)))/365^n$. [/mm] Das Ereignis [mm] $(B_n\mid A_n)$ [/mm] bedeutet, dass von $n$ Personen, die alle unterschiedliche Geburtstage haben, eine denselben Geburtstag hat wie du. Die Wahrscheinlichkeit fuer dieses Ereignis ist $n/365$. Mithin erhalten wir
[mm] $p_n=P(A_n\cap B_n)=\frac{\displaystyle n(365\times
364\times\dots\times(365-(n-1)))}{\displaystyle 365^{n+1}}$.
[/mm]
Ich habe jetzt nicht mehr die Zeit, das optimierende $n$ analytisch zu finden, behaupte aber, es liegt bei $n=19$, siehe Abbildung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Luis,
besten Dank für deine Überlegungen! :)
also für die Wkeiten gilt doch [mm] P(A_n \cap B_n) [/mm] = [mm] P(B_n|A_n) P(A_n), [/mm] oder?
ich glaub du hast es so gerechnet, aber zuerst ohne [mm] P(A_n) [/mm] aufgeschrieben.
yea, ein optimierungsproblem mit welchem programm hast du die grafik erstellt? wie hast du die fakultät eingegeben?
ist ja cool, dass man das doch so genau berechnen kann...
viele grüße
riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 20.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
hab doch nochmal eine Frage zu dieser aufgabe. Du hast ja rausbekommen dass n=19 optimal ist. Das bedeutet, dass der Platz Nr.20 am günstigsten für einen ist, oder?
Was aber, wenn die Schlange nur aus weniger als 19 Personen besteht...? ist es dann einfach der letzte?
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 20.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> hab doch nochmal eine Frage zu dieser aufgabe.
> Was aber, wenn die Schlange nur aus weniger als 19
> Personen besteht...? ist es dann einfach der letzte?
>
>
Da Bildchen sagt ja. Was stoert dich denn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Di 20.03.2007 | | Autor: | Riley |
ok danke. vielleicht sollte ich nicht zu viel drüber nachdenken ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Di 20.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> ok danke. vielleicht sollte ich nicht zu viel drüber
> nachdenken ;)
Die Graphik zeigt dir fuer jede Gruppengroesse $n$ die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass in der Gruppe keine zwei Personen denselben Geburtstag haben und dass eine $n+1$-te Person mit einem Gruppenmitglied einen gemeinsamen Geburtstag hat.
Vielleicht hilft dir ja diese Formulierung auf die Spruenge...
hth
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