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| Aufgabe | Wenn erfahrungsgemäß 1 % aller Schrauben fehlerhaft ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 1 % der Schrauben einer Packung à 200 Schrauben fehlerhaft ist?
Berechnen Sie diesen Wert
1. exakt
2. mit der Approximation durch die Poisson-Verteilung
3. mit dem Zentralen Grenzwertsatz. |
Hallo!
Ich versuche mich gerade an der Poisson-Verteilung [mm] P(X=k)=\bruch{\lambda^{k}}{k!}*e^{- \lambda} [/mm].
Aber ich bin mir nicht sicher, was [mm] \lambda [/mm] ist.
Bei der Poisson-Verteilung ist das ja gleich E(X),
und das müsste hier ja gleich 0,01*200 sein, oder?
Kann das stimmen?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 So 20.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, genau. Das liegt daran, dass [mm] \vektor{n \\ k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} \longrightarrow e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} [/mm] gilt für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] und (WICHTIG!) [mm] $np_n\rightarrow \lambda$. [/mm] Hierbei soll [mm] p_n [/mm] eine Folge von Wahrscheinlichkeiten sein.
Für großes $n$ nimmt man dann einfach an, dass der der Grenzwert von [mm] np_n [/mm] schon nah genug an [mm] \lambda [/mm] ist und damit auch [mm] \vektor{n \\ k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} [/mm] nah genug an [mm] e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 So 20.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Aha! Vielen Dank für deine Hilfe! 
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Hallo!
Jetzt habe ich mich an den 3. Teil gemacht mit dem Zentralen Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace.
Laut ihm gilt ja für [mm] S_{200}=\summe_{i=1}^{200}X_{i} [/mm] wobei [mm] X_{i}=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn die Schraube i fehlerfrei ist} \\ 1, & \mbox{wenn die Schraube i fehlerhaft ist} \end{cases}[/mm] und [mm] a
[mm] P(a \le S_{200} \le b) \approx \phi( \bruch{b-200*0.01}{\wurzel{200*0.01*0.99}}) - \phi( \bruch{a-200*0.01}{\wurzel{200*0.01*0.99}}) [/mm]
Da wir wollen, dass nicht mehr als 1% der Schrauben fehlerhaft ist, wähle ich hier [mm] a=0, b=2 [/mm] Und damit:
[mm] P(0 \le S_{200} \le 2) \approx \phi( \bruch{2-200*0.01}{\wurzel{200*0.01*0.99}}) - \phi( \bruch{0-200*0.01}{\wurzel{200*0.01*0.99}})
\approx \phi(0) - \phi(-1.42)
= \phi (0) - (1- \phi(1.42))
\approx 0.7635 [/mm]
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 1% der Schrauben in einer 200er-Packung fehlerhaft ist ca. 76,35%.
Stimmt das so?
Aber da ist ja ein ganz schön großer Unterschied zwischen der Poisson-Methode und der Moivre-Methode!
Könnte jemand hier drüber schauen? Das wäre sehr nett!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das sieht alles ok so aus, das Problem ist, dass die Approximation durch die Normalverteilung nur dann wirklich gut ist, wenn z.B. [mm] $npq\ge9$ [/mm] gilt, was bei dir aber so gar nicht der Fall ist.
Und den Wert von [mm] \phi(1.42) [/mm] musst du nochmal genau nachschauen! Da hast du dich vertan, aber es ändert nichts, weil der richtige Wert auch noch stark abweicht.
Was man normalerweise auch noch bei dieser Approximation macht, ist eine Stetigkeitskorrektur, wie z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier beschrieben. Aber auch diese liefert hier kein brauchbares Ergebnis. Aber das ist sicher auch Sinn und Zweck der Aufgabe gewesen.
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Hallo!
Danke für die schnelle Antwort!
Bei dem Wert von 1.42: er ist 0.9222, hier wird er aber noch von 1 abgezogen, weil ursprünglich [mm] \phi(-1.42) [/mm] da stand, dh. [mm] \phi(-1.42)=1- \phi(1.42)=1-0.9222=0.0778 [/mm]
Oder nicht?
Zur Stetigkeitskorrektur: Das haben wir in der Vorlesung gar nicht gemacht! Huch!
Naja, aber vermutlich hast du Recht und es ging darum zu zeigen, wie schlecht diese Abschätzung in diesem Fall ist!
Dann habe ich noch eine Frage zum 1. Teil,
bisher dachte ich, das kann doch nicht so schwer sein, den exakten Wert zu berechnen,
aber irgendwie verwirrt mich das!
Was muss ich hier machen? O.o
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Teufel |
[mm] $\phi(1.42)\approx [/mm] 0.95538$ nach meiner Rechnung! Aber guck das noch mal in Ruhe durch, das ist ja nicht das Hauptproblem der Aufgabe. :)
Also wenn man das exakt berechnen will, benötigt man ja die Binomialverteilung. Poisson- und Normalverteilung sind nur Hilfen, diese Verteilung anzunähern, weil das rechnen mit der Binomialverteilung echt mühsam werden kann.
Wenn $X$ also die Anzahl angibt, dass $k$ Schrauben defekt sind, gilt
[mm] $P(X=k)=\vektor{200 \\ k}p^k(1-p)^{200-k}$. [/mm] Nun suchst du einfach wieder [mm] $P(X\le [/mm] 2)=...$
Das kann man in diesem Fall noch gut von Hand ausrechnen. Aber wenn die Frage jetzt wäre, mit welcher Wahrscheinlichkeit zwischen 50 und 100 Schrauben defekt sind, dann würdest du das nicht mehr exakt per Hand machen wollen, sondern wenigstens mit der Poissonverteilung. ;) Und noch lieber mit der Binomialverteilung, aber die liefert hier ja leider nicht unbedingt etwas brauchbares.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso! Ja, das ist machbar!
Vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem! :)
Es sollte dann ca. das gleiche raus kommen wie bei der Poisson-Variante.
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Hallo!
Also ich habe das jetzt mal durchgerechnet und komme auf 76.35%.
Das klingt ja eigentlich ganz gut,
dann habe ich mir nochmal die Poisson-Verteilung angeschaut und bemerkt, dass ich einen Denkfehler hatte, also habe ich das nochmal gerechnet und da komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit ÜBER 2!!!
Das kann ja nicht sein, also hier mein Weg:
[mm] P(X \le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = \bruch{\lambda^{0}}{0!}*e^{-0}+\bruch{\lambda^{1}}{1!}*e^{-1}+\bruch{\lambda^{2}}{2!}*e^{-2} = 1+2*0.37+2*0.14 = 2.02 [/mm] mit [mm] \lambda=2=0.01*200=E(X) [/mm]
Was habe ich da falsch gedacht?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Falsch ist nur, dass du mit [mm] e^{-k} [/mm] anstatt [mm] e^{-\lambda}=e^{-2} [/mm] rechnest. Und ich komme auf ca. 67,67%! Sowohl mit Poisson als auch Binomialverteilung. Aber von der Vorgehensweise ist ansonsten alles ok!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Di 22.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Autsch! Da war ich wohl zu wischiwaschi...
Vielen Dank, jetzt kommt bei mir auch bei beiden das raus!
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