Poisson-Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 So 24.04.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
ich würde gerne zeigen, dass die Poissonverteilung [mm] $\sigma$-additiv [/mm] ist, aber ich komme nicht recht darauf, wie ich das machen soll.
Meine Idee wäre zu sagen:
Angenommen ich habe eine Folge paarweise disjunkter Teilmengen von [mm] $\mathbb{N}_0$, [/mm] dann gilt, dass diese Teilmengen [mm] $T_i$ [/mm] wiederum aus einelementigen Mengen (einzelne natürliche Zahlen) bestehen, damit sind die [mm] $T_i$ [/mm] wieder disjunkte Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen. Ab hier hänge ich mit dem Aufschreiben der Summe.
Kann man sich dann einfach was passend definieren, oder wie geht man hier vor?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 24.04.2016 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
> ich würde gerne zeigen, dass die Poissonverteilung
> [mm]\sigma[/mm]-additiv ist, aber ich komme nicht recht darauf, wie
> ich das machen soll.
Moin, ich habe den Begriff [mm]\sigma[/mm]-Additivitaet nicht genau auf dem Schirm, meine aber, dass es um Folgendes geht.
Seien $X$ und $Y$ unabhaengig und Poisson-verteilt mit [mm] $\operatorname{E}[X]=\lambda$ [/mm] und [mm] $\operatorname{E}[Y]=\mu$. [/mm] Dann ist zu zeigen, dass $X+Y$ Poisson-verteilt ist mit [mm] $\operatorname{E}[X+Y]=\lambda+\mu$.
[/mm]
Wenn das gemeint ist, so nutze z.B. den Faltungssatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 So 24.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Luis!
Nein, eine Mengenfunktion [mm] $P\colon\mathcal{P}(\Omega)\to[0,1]$ [/mm] nennt man Sigma-additiv, falls
[mm] $P(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\sum_{n\in\IN}P(A_n)$
[/mm]
für jede Folge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] paarweise disjunkter Teilmengen [mm] $A_n\subseteq\Omega$ [/mm] gilt.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 24.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Reynir!
Wie habt ihr die Poisson-Verteilungen eingeführt/definiert?
Es gilt folgender Satz:
Sei [mm] $\Omega$ [/mm] eine abzählbare Menge und [mm] $p\colon\Omega\to[0,1]$ [/mm] mit [mm] $\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1$.
[/mm]
Dann ist die Abbildung
[mm] $P\colon\mathcal{P}(\Omega)\to[0,1],\quad P(A):=\sum_{\omega\in A}p(\omega)$
[/mm]
ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 25.04.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
wir haben sie so wie hier definiert: ![[]](/images/popup.gif) . Ich nehme dann an, dass es auf den Satz rauslaufen wird.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Di 26.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> wir haben sie so wie hier definiert:
> .
> Ich nehme dann an, dass es auf den Satz rauslaufen wird.
> Viele Grüße,
> Reynir
Bei Poisson ist [mm] \Omega= \IN_0 [/mm] und
[mm] p(k)=\bruch{\lambda^k}{k!}e^{- \lambda}
[/mm]
Rechne nach: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}p(k)=1
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Di 26.04.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
naja, das gilt direkt, weil ich auf [mm] $e^\lambda [/mm] * [mm] e^{-\lambda}$ [/mm] komme und das wird 1. Aber was mir das zur Sigmaadditivität bringt sehe ich immer noch nicht, außer man beweist den Satz.
Viele Grüße,
Reynir
PS.: Ich habe Null Ahnung von Maßtheorie, das habe ich noch nicht gehört. Wir haben Stochastik ohne gemacht.
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