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Poisson-Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 So 08.06.2008
Autor: cauchy

Aufgabe
Sei [mm] P(\lambda) [/mm] die Poisson-Verteilung zum Parameter [mm] $\lambda [/mm] > 0$, und sei X eine [mm] $P(\lambda)$-verteilte [/mm] Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion [mm] $F_{X}$ [/mm] von X im Intervall $[n,n+1)$, $n [mm] \in \IZ$, [/mm] gegeben ist durch

[mm] $$F_X(x) [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n!}*\integral_{0}^{\lambda}{t^n*e^{-t}dt} [/mm] $$

Hallo Leute,

bei dieser Aufgabe hatte ich folgende Idee: Ich habe das Integral partiell integriert:

[mm] $$1-\bruch{1}{n!}*\integral_{0}^{\lambda}{t^n*e^{-t}dt}$$ [/mm]

$$= [mm] 1-\bruch{1}{n!}([t^n(-e^{-t})]_{0}^\lambda+n*\integral_{0}^{\lambda}{t^{n-1}*e^{-t}dt})$$ [/mm]
Das habe ich nun n-mal wiederholt, sodass ich als Endergebnis bekomme:

[mm] 1+e^{-\lambda}\summe_{i=0}^{n}{\bruch{1}{i!}\lambda^i} [/mm]

Meine Fragen:

1. Kann man meinen Lösungsweg nachvollziehen, oder soll ich ihn noch ausführlicher darstellen?
2. Habe ich die richtige Idee (partielle Integration)?
3. Wenn nein, wie geht es dann :) ?
4. Wenn ja, habe ich richtig gerechnet und was sagt mir mein Ergebnis?
(Ich muss nämlich gestehen, dass ich diese Sache mit der Verteilungsfunktion auch noch nicht richtig verstehe... )
5. Ich habe sehr wohl erkannt, dass [mm] $\summe_{i=0}^{n}{\bruch{1}{i!}\lambda^i}$ [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] den Grenzwert für [mm] e^\lambda [/mm] beschreibt ... muss ich das auch noch ausnutzen?

LG, cauchy

Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.

        
Bezug
Poisson-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Mo 09.06.2008
Autor: luis52

Moin cauchy,

dein Ergebnis *kann* nicht korrekt sein,
denn $ [mm] 1+e^{-\lambda}\summe_{i=0}^{n}{\bruch{1}{i!}\lambda^i} [/mm] >1$!

vg Luis

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Bezug
Poisson-Verteilung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Mo 09.06.2008
Autor: cauchy


> Moin cauchy,
>  
> dein Ergebnis *kann* nicht korrekt sein,
>  denn
> [mm]1+e^{-\lambda}\summe_{i=0}^{n}{\bruch{1}{i!}\lambda^i} >1[/mm]!
>  
> vg Luis

Okay... aber wie geh ich die Aufgabe denn dann an? Irgendwelche Tipps?
LG, cauchy

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Bezug
Poisson-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mo 09.06.2008
Autor: luis52


>
> Okay... aber wie geh ich die Aufgabe denn dann an?
> Irgendwelche Tipps?


Hallo Cauchy,

bevor ich hier weiter denke, musst du erst einmal ein paar Unklarheiten
in der Aufgabenstellung beseitigen. Denn hier ist offensichtlich der Wurm drin:

Die Wahl $ n [mm] \in \IZ [/mm] $ macht keinen Sinn. Zwar mag das Integral

[mm] $\integral_{0}^{\lambda}{t^n\cdot{}e^{-t}dt}$ [/mm]

beispielsweise fuer $n=-1$ existieren, aber wie ist $(-1)!$ definiert?
Ich vermute, dass [mm] $n=0,1,2,3,\dots$ [/mm] gemeint ist.

Schauen wir uns einmal den Fall n=0 an. Dann ist  [mm] $F_X(0)=P(X\le 0)=P(X=0)=$\lambda^0\exp[-\lambda]/0!=\exp[-\lambda]$. [/mm]
Andererseits ist dann

$ [mm] 1-\bruch{1}{0!}\cdot{}\integral_{0}^{\lambda}{e^{-t}dt}=1-[-e^{-t}]_0^\lambda=1+e^{-t}$. [/mm]


vg Luis              


Bezug
                                
Bezug
Poisson-Verteilung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Mo 09.06.2008
Autor: cauchy

> Schauen wir uns einmal den Fall n=0 an. Dann ist  
> [mm]$F_X(0)=P(X\le 0)=P(X=0)=$\lambda^0\exp[-\lambda]/0!=\exp[-\lambda]$.[/mm]
>  
> Andererseits ist dann
>  
> [mm] $$1-\bruch{1}{0!}\cdot{}\integral_{0}^{\lambda}{e^{-t}dt}=1-[-e^{-t}]_0^\lambda=1+e^{-t}$$. [/mm]
>  
>

Hallo Luis, hast du dich da nicht verrechnet??
Ok, es ist
[mm] $$F_X(0)=P(X\le 0)=P(X=0)=$\lambda^0\exp[-\lambda]/0!=\exp[-\lambda]$$. [/mm]
Aber [mm] $$1-\bruch{1}{0!}\cdot{}\integral_{0}^{\lambda}{e^{-t}dt}=1-[-e^{-t}]_0^\lambda=1+e^{-t}$$ [/mm] stimmt doch nicht, oder?
Ich würde rechnen:
[mm] $$1-\bruch{1}{0!}\cdot{}\integral_{0}^{\lambda}{e^{-t}dt}=1-[-e^{-t}]_0^\lambda=1-(-e^{-\lambda}-(-e^{-0}))=1+e^{-\lambda}-1=e^{-\lambda}$$ [/mm]

Also kommt in beiden Fällen das gleiche raus, was gut ist, oder :) ?

Ok, für n=0 ist klar, wie mache ich jetzt weiter? Soll ich das für n=1,2 usw ausprobieren und macht man dann eine Induktion oder so? :)

LG, cauchy



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Bezug
Poisson-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Mo 09.06.2008
Autor: luis52


> Also kommt in beiden Fällen das gleiche raus, was gut ist,
> oder :) ?

Stimmt [peinlich]. Aber ich wollte nur mal sehen, ob du aufpasst... ;-)

>  
> Ok, für n=0 ist klar, wie mache ich jetzt weiter? Soll ich
> das für n=1,2 usw ausprobieren


Warum denn das noch? Den Induktionsanfang hast du doch schon gemacht.

> und macht man dann eine
> Induktion oder so? :)

Das kann man mal probieren ...

vg Luis



Bezug
                                                
Bezug
Poisson-Verteilung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Di 10.06.2008
Autor: cauchy

Super danke! Ich habe das per Induktion bewiesen und das sieht auch ziemlich richtig aus *freu*

ABER: Eine Sache ist mir unklar...

Ich beweise ja, dass

$$ [mm] \underbrace{\summe_{i=0}^{n}{P(X=i)}}_{=P(X\le n)} [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n!} \integral_{0}^{\lambda}{t^n*e^{-t}dt}$$ [/mm] ist.

In der Aufgabenstellung steht ja was von "$X$ im Intervall $[n,n+1)$".
Was heißt das?

VG, cauchy

Bezug
                                                        
Bezug
Poisson-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Di 10.06.2008
Autor: luis52

Hallo cauchy,



> Super danke! Ich habe das per Induktion bewiesen und das
> sieht auch ziemlich richtig aus *freu*
>  

Prima.

> ABER: Eine Sache ist mir unklar...
>  
> Ich beweise ja, dass
>
> [mm]\underbrace{\summe_{i=0}^{n}{P(X=i)}}_{=P(X\le n)} = 1-\bruch{1}{n!} \integral_{0}^{\lambda}{t^n*e^{-t}dt}[/mm]
> ist.
>  
> In der Aufgabenstellung steht ja was von "[mm]X[/mm] im Intervall
> [mm][n,n+1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

".

>  Was heißt das?
>  

Du musst beweisen, dass die Formel fuer alle $x\in[n,n+1) $ gilt. Dort ist aber

$F(x)=P(X\le x)= \summe_{i=0}^{n}{P(X=i)=P(X\le n)$

Und das hast du nachgewiesen.

(Habe deinen letzten Eintrag geringfuegig korrigiert)

vg Luis              



Bezug
                                                                
Bezug
Poisson-Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Di 10.06.2008
Autor: cauchy

Vielen vielen Dank!!

Bezug
                                                                        
Bezug
Poisson-Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Di 10.06.2008
Autor: luis52


> Vielen vielen Dank!!

Gerne.

Bezug
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