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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:39 Mo 14.06.2004 | | Autor: | phymastudi |
Ich hab mal wieder höhere MAthematik, ein mir noch sehr fremdes Gebiet, leider.Bei einem Zählexperiment beobachten Sie über einen Zeitraum von einer Stunde 60 Ereignisse. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei Wiederholung des Experiments in einer Minute
a) kein Ereignis
b) genau ein Ereignis und
c) genau zwei Ereignisse beobachten?
Für ein nachfolgendes Experiment mit einer anderen Quelle registrieren Sie über der kurzen Messzeit von einer Minute kein einziges Ereignis. Geben Sie eine obere Grenze für die Rate dieser Quelle an. Die obere Grenze soll als Mittelwert einer Poissonverteilung so bestimmt werden, dass (bei vielfacher Wiederholung des Experiments) in 95 % der Fälle eine grössere Rate beobachtet würde, als in Ihrem Experiment auftrat.
HÄÄÄÄÄÄ????? Ich versteh nichts!!! Leider!
Lediglich weiss ich, dass man zur Poissonverteilung mit der Formel p= e-mü*(mün / n!), aber wie ich da nun vorzughen habe, weiss ich leider überhaupt nicht! Sorry!!
LG Björn
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Hallo Björn!
Ich bin zwar nicht ganz so vertraut mit der Schreibweise, die Physiker für stochastische Aufgaben benutzen und würde es gern ein wenig formaler aufschreiben, aber ich hoffe, wir verstehen uns...
> Ich hab mal wieder höhere MAthematik, ein mir noch sehr
> fremdes Gebiet, leider.Bei einem Zählexperiment beobachten
> Sie über einen Zeitraum von einer Stunde 60 Ereignisse.
Zunächst mal was ALlgemeines über die Poissonverteilung. Ist die Zufallsvariable $X$ poissonverteilt mit Parameter [mm] $\mu$, [/mm] so bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen bestimmten Wert $n$ annimmt, nach Definition
[mm] P(X=n)=\frac{\mu^n}{n!}e^{-\mu}, \quad n=0,1,2,\ldots[/mm]
Der Erwartungswert von X ist [mm] $\mu$, [/mm] und auch die Varianz von $X$ ist [mm] $\mu$.
[/mm]
In der Aufgabe geht es um eine poissonverteilte Zufallsvariable, deren Parameter [mm] $\mu$ [/mm] zu ermitteln ist. Die Zufallsvariable zählt, wie of tein bestimmtes Ereignis pro Minute (!) eingetreten ist.
Angegeben ist, wie oft dieses Ereignis in einer ganzen Stunde eingetreten ist. Dies kann man so modellieren, dass die Summe von 60 unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen [mm] $X_1,\ldots,X_{60}$ [/mm] realisiert wurde, wobei die [mm] $X_i$ [/mm] alle poissonverteilt sind mit dem selben Parameter [mm] $\mu$. [/mm] Als Schätzer für den Parameter [mm] $\mu$ [/mm] bietet sich nun das arithmetische Mittel dieser 60 Werte an. Die Realisierung ergab nach Aufgabenstellung
[mm] \hat{\mu}=\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}=\frac{60}{60}=1[/mm]
Sicherlich kann man auch noch anders begründen, warum man einfach die beobachtete Anzahl von Ereignissen durch die Anzahl an Minuten teilt, um aus der stündlichen Rate die minütliche zu erhalten, aber ich glaube, es ist mathematisch so am "richtigsten".
> Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei Wiederholung
> des Experiments in einer Minute
> a) kein Ereignis
> b) genau ein Ereignis und
> c) genau zwei Ereignisse beobachten?
Jetzt haben wir also den Parameter [mm] $\mu$ [/mm] der Poissonverteilung bestimmt, wobei $X$ also die Anzahl der Ereignisse pro Minute (!) beschreibt.
Für a) benutzen wir nun nur noch die oben angegebene Formel:
[mm] P(X=0)=\frac{\mu^0}{0!}e^{-\mu}=\frac{1}{1}e^{-1}\approx 0.3679[/mm]
b) und c) gehen analog. Das kannst Du ja mal alleine ausprobieren.
> Für ein nachfolgendes Experiment mit einer anderen Quelle
> registrieren Sie über der kurzen Messzeit von einer Minute
> kein einziges Ereignis. Geben Sie eine obere Grenze für die
> Rate dieser Quelle an. Die obere Grenze soll als Mittelwert
> einer Poissonverteilung so bestimmt werden, dass (bei
> vielfacher Wiederholung des Experiments) in 95 % der Fälle
> eine grössere Rate beobachtet würde, als in Ihrem
> Experiment auftrat.
Hierüber muss ich noch mal nachdenken. Da ist mir die Aufgabenstellung nicht ganz klar. Wenn mir was einfällt, melde ich mich wieder. Aber natürlich dürfen sich auch gerne andere Foristi daran versuchen.
Viele Grüße
Brigitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Di 15.06.2004 | | Autor: | felixs |
> Für ein nachfolgendes Experiment mit einer anderen Quelle
> registrieren Sie über der kurzen Messzeit von einer Minute
> kein einziges Ereignis. Geben Sie eine obere Grenze für die
> Rate dieser Quelle an. Die obere Grenze soll als Mittelwert
> einer Poissonverteilung so bestimmt werden, dass (bei
> vielfacher Wiederholung des Experiments) in 95 % der Fälle
> eine grössere Rate beobachtet würde, als in Ihrem
> Experiment auftrat.
habe hierzu eine idee, bin aber nicht so sicher:
wenn in 95% der faelle mehr als 0 ereignisse gemessen werden sollen, dann heisst das fuer mich dass $ P(X=0) < 0.05 $. dann $ [mm] e^{-\mu} [/mm] < 0.05 $ also $ [mm] {\mu<2.99} [/mm] $.
die anschauung waere dann etwa so: wenn $ [mm] \mu [/mm] < 3 $, dann wird die 1-minuetige messung zu 95% mehr als 0 ereignisse ergeben.
jetzt nehme ich mal 60 von diesen X, addier sie auf und such die verteilung.
[mm] $P(\sum_{i=1}^{60} [/mm] = n) = ? $.
das gibt aber wieder die poissonveteilung mit dem parameter $ [mm] \lambda=\sum \mu_i [/mm] = 60 [mm] \mu [/mm] $
also etwa $ [mm] \frac [/mm] { [mm] e^{-180} \cdot 180^n [/mm] } {n!} $
und zur anschauung: 180 events/stunde heissen 95% der ein-minuetigen messungen ergeben mehr als 0. (klingt plausibel (also verdaechtig ;) )
hth neway
-- felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:11 Di 15.06.2004 | | Autor: | phymastudi |
Hi Ihr.
Vielen Dnak für eure Hilfen!
Ich versuch das langsam aufzuarbeiten, aber das fällt mir schwer, weil ich die Poissonverteilung leider noch nie kennengelernt habe. Aber was ist hier der Mittelwert, von dem im zweiten Aufgabenteil geredet wird??
LG euer Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo ihr beiden!
> > Für ein nachfolgendes Experiment mit einer anderen
> Quelle
> > registrieren Sie über der kurzen Messzeit von einer
> Minute
> > kein einziges Ereignis. Geben Sie eine obere Grenze für
> die
> > Rate dieser Quelle an. Die obere Grenze soll als
> Mittelwert
> > einer Poissonverteilung so bestimmt werden, dass (bei
> > vielfacher Wiederholung des Experiments) in 95 % der
> Fälle
> > eine grössere Rate beobachtet würde, als in Ihrem
> > Experiment auftrat.
>
> habe hierzu eine idee, bin aber nicht so sicher:
> wenn in 95% der faelle mehr als 0 ereignisse gemessen
> werden sollen, dann heisst das fuer mich dass [mm]P(X=0) < 0.05 [/mm].
> dann [mm]e^{-\mu} < 0.05[/mm] also [mm]{\mu<2.99} [/mm].
Das hatte ich auch überlegt. Allerdings ist [mm]e^{-\mu} < 0.05[/mm]
für [mm]{\mu>3} [/mm] erfüllt, man erhält also eine untere Schranke (keine obere, und das war ja in der Aufgabenstellung gefragt).
> die anschauung
> waere dann etwa so: wenn [mm]\mu < 3 [/mm], dann wird die
> 1-minuetige messung zu 95% mehr als 0 ereignisse ergeben.
>
> jetzt nehme ich mal 60 von diesen X, addier sie auf und
> such die verteilung.
> [mm]P(\sum_{i=1}^{60} = n) = ? [/mm].
> das gibt aber wieder die
> poissonveteilung mit dem parameter [mm]\lambda=\sum \mu_i = 60 \mu[/mm]
Das stimmt.
> also etwa [mm]\frac { e^{-180} \cdot 180^n } {n!}[/mm]
> und zur
> anschauung: 180 events/stunde heissen 95% der
> ein-minuetigen messungen ergeben mehr als 0. (klingt
> plausibel (also verdaechtig ;) )
Inwiefern das plausibel ist, weiß ich nicht  Kenne mich nicht so aus mit physikalischen Experimenten...
Ich meine, dass die Formulierung "bei vielfacher Wiederholung des Experiments" nur darauf hindeuten soll, dass man von der relativen Häufigkeit (die man ja nur beobachten kann) zu einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Aussage kommen soll, also $P(X>0)$
ins Kalkül zieht, wie Du es oben gemacht hast.
Um auf Björn's Einwad zu reagieren:
"Mittelwert" interpretiere ich hier als Erwartungswert von $X$, also gerade die Rate [mm] $\mu$. [/mm] Mittelwert wird von Nichtmathematikern gerne in diesem Zusammenhang verwendet, der Ausdruck ist aber grundfalsch. Man kann keinen Mittelwert von einer Zufallsvariablen bilden. ALs Mittelwert zu [mm] $x_1,\ldots x_n$ [/mm] ist stets der Ausdruck
[mm]\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}[/mm]
definiert. Das ist aber nur ein Schätzer für den Erwartungswert (s. erstes Posting), der eine theoretische Größe darstellt. Das ist etwa so wie der Zusammenhang zwischen rel. Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Das eine ist das, was wir beobachten, das zweite ist ein theoretischer Zusammenhang, den wir aus den Beobachtungen schließen. Ist etwas schwierig zu erläutern. Man sollte sich aber dieser Unterscheidung bewusst sein.
Viele Grüße
Brigitte
> hth neway
> -- felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
> ein nachfolgendes Experiment mit einer anderen
> Quelle
> > registrieren Sie über der kurzen Messzeit von einer
> Minute
> > kein einziges Ereignis. Geben Sie eine obere Grenze für
> die
> > Rate dieser Quelle an. Die obere Grenze soll als
> Mittelwert
> > einer Poissonverteilung so bestimmt werden, dass (bei
> > vielfacher Wiederholung des Experiments) in 95 % der
> Fälle
> > eine grössere Rate beobachtet würde, als in Ihrem
> > Experiment auftrat.
>
> habe hierzu eine idee, bin aber nicht so sicher:
> wenn in 95% der faelle mehr als 0 ereignisse gemessen
> werden sollen, dann heisst das fuer mich dass [mm]P(X=0) < 0.05 [/mm].
Ich sehe es wie Brigitte: Hier hat der Aufgabensteller die Begriffe "obere Grenze" und "untere Grenze" durcheinandergeworfen.
> anschauung: 180 events/stunde heissen 95% der
> ein-minuetigen messungen ergeben mehr als 0. (klingt
> plausibel (also verdaechtig ;) )
Ja, das ist dann richtig, wenn die Aufgabenstellung so zu verstehen war. Damit lassen wir die Aufgabe jetzt ruhen, schlage ich vor. Und tschüss! ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Lieber Björn, du kannst uns dann ja mal anschließend verraten, ob das mit der "oberen" Grenze tatsächlich ein Schreibfehler war und wie genau die Lösung zum zweiten Teil lautet.
Richtig verstanden habe ich die Aufgabe nach wie vor nicht, da geht es mir wie dir, Björn. Ich hätte da auch nicht gewusst, was ich hätte tun sollen.
Liebe Grüße
Stefan
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